método de newton r.

Métodos Numéricos
Licenciatura en Ingeniería Ambiental

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Es uno de los métodos numéricos más poderosos para resolver el problema deencontrar raíces ݂ ሺ‫݌‬ሻ = 0.
Sea ‫ ∈ ̅ݔ‬ሾܽ, ܾሿ una aproximación a “‫ ”݌‬tal que ݂ ᇱ ሺ‫ ̅ݔ‬ሻ ≠ 0 y |‫ ̅ݔ‬− ‫ |݌‬es pequeño.
ሺ࢞ − ࢞
ഥሻ૛ ᇱᇱ
ഥሻ + ሺ࢞ − ࢞
ഥሻࢌ´ሺ࢞
ഥሻ +
ࢌሺ࢞ሻ = ࢌሺ࢞
ࢌ ሺξሺ࢞ሻሻ
૛!
Donde ξሺ‫ ݔ‬ሻestá entre ‫ ݔ‬y ‫ ̅ݔ‬. Puesto que ݂ ሺ‫݌‬ሻ = 0 esta ecuación con ‫ ݌ = ݔ‬nos da:
ሺ࢖ − ࢞
ഥሻ૛ ᇱᇱ
ഥ ሻ + ሺ࢖ − ࢞
ഥ ሻࢌ ࢞
ഥሻ +
૙ = ࢌሺ࢞
ࢌ ൫ξሺ࢖ሻ൯
૛!
ᇱሺ

El método de Newton se obtiene suponiendo que puesto que |‫݌‬− ‫ | ̅ݔ‬es pequeño, el término que
involucra a ሺ‫ ݌‬− ‫ ̅ݔ‬ሻଶ es despreciable y por lo tanto:
ഥሻ + ሺ࢖ − ࢞
ഥሻࢌᇱ ሺ࢞
ഥሻ
૙ ≈ ࢌሺ࢞
Despejando a “‫”݌‬:
ഥ−
࢖≈࢞

1

ഥሻ
ࢌሺ࢞
ഥሻ
ࢌᇱ ሺ࢞

ഥሻ ≠ ૙
ࢌ ᇱ ሺ࢞Profesor: Ing. Miguel Ángel Herrera Bermúdez.

Métodos Numéricos
Licenciatura en Ingeniería Ambiental

El método de Newton Raphson empieza con una aproximación inicial ‫݌‬௢ y genera la sucesión ሼ‫݌‬௡ ሽdada
por:
ࢌሺ࢖࢔ି૚ ሻ
࢖࢔ = ࢖࢔ି૚ − ᇱ
࢖ࢇ࢘ࢇ ࢔ ≥ ૚
ࢌ ሺ࢖࢔ି૚ ሻ
Las desigualdades dadas en el método de bisección como formas para detener el proceso iterativo son
aplicables al método de Newton Raphson.
|࢖࢔ −࢖࢔ି૚ | < ε

|࢖࢔ − ࢖࢔ି૚ |
<ε
|࢖࢔ |

࢖࢔ ≠ ૙

ࢌሺ࢖࢔ ሻ < ε

El método es más efectivo cuando ݂ ᇱ ሺ‫ ݔ‬ሻ es acotada lejos de cero.
En particular si la aproximación inicial ‫݌‬௢ no está suficientemente cercano a laraíz, el método de Newton
Raphson puede no converger.

2

Profesor: Ing. Miguel Ángel Herrera Bermúdez.

Métodos Numéricos
Licenciatura en Ingeniería Ambiental

REPRESENTACIÓN FÍSICA DEL MÉTODO.y
y = f(x)

p0
O

3

p2
x
p3

p1

Profesor: Ing. Miguel Ángel Herrera Bermúdez.

Métodos Numéricos
Licenciatura en Ingeniería Ambiental

Ejemplo:
Determine la raíz de la siguiente función en elintervalo ሾ1,2ሿ utilizando el método de Newton Raphson.
ࢌሺ࢞ሻ = ࢞૜ + ૝࢞૛ − ૚૙

4

N

pn

f(pn)

f'(pn)

pn+1

|pn - pn-1|

|pn - pn-1|/|pn|

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

1.50000000...