metodos de newton

Métodos de Newton-Cotes
La idea esencial de estos métodos es sustituir la función a integrar por alguno de sus polinomios de interpolación. Se trata por tanto de toda una familia general demétodos, según el polinomio de interpolación que se considere. Aunque en principio en un método general de Newton-Cotes podrá ser válida cualquier elección de puntos para realizar la interpolación, eshabitual restringirse al caso en el que los puntos están equiespaciados.
Método de los Trapecios
El Método de los Trapecios es un Método de Newton-Cotes basado en la interpolación lineal. Se trata portanto, de cara a integrar f(x) desde el punto (a, f(a)) hasta (b, f(b)),de aproximar f(x) por su polinomio de interpolación lineal en [a, b].

Se trata de aproximar el valor de la integral I por elárea del trapecio (suponiendo que la función es positiva para todo x 2 [a, b]) que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los puntos: (a; f(a)) y (b; f(b)), y de ahí elnombre del método.
Si recordamos la expresión del error de la interpolación lineal, suponiendo que f(x) es continua y derivable dos veces en el intervalo [a; b]:

Tendremos entonces que:Donde el error de la integración numérica E sería, obviamente:

Integrando en la expresión anterior, y llamando h = b - a, se concluye fácilmente en que:

Siendo M2 el valor máximo que alcance laderivada segunda de la función en el intervalo dado [a, b].

Método de los Trapecios compuesto
Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el Método de los Trapecios Simple suele sermuy impreciso. Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el intervalo en otros más pequeños y aplicar en cada uno de ellos el Método simple.
De esta manera, el Método de los Trapecioscompuesto o generalizado consiste en tomar una partición P = f {x0, x1,…,xn} de [a, b], (x0 = a, xn = b), equiespaciada, es decir: xi+1 - xi = h, 8i = 1, …. , n. Tendremos así que:...