A) 2 Sen X - 3 = -Csc X

a) 2 sen x - 3 = -csc x
1
2 sen(x) -3 = - ____
sen x
1
2 sen(x) -3 +_____ = 0
.sen x
2 sen²(x) -3 sen(x) +1
__________________ = 0
sen x
Para queuna fracción valga 0, el numerador debe valer 0 (la parte de arriba), y a la vez, con las mismas soluciones el denominador debe ser distinto de 0 ya que la división entre 0 no existe. por lo tantoprimero busquemos los valores con los que el numerador es 0

2 sen²(x) -3 sen(x) +1 = 0
u = sen x
Entonces queda
2u² -3u +1 = 0
Factorizando queda
(2u -1)(u -1) = 0
2u -1 = 0
2u = 1
u = 1 /2u -1 = 0
u = 1
Pero volvamos a la variable original, recordando que u = sen x, nos quedan 2 ecuaciones
sen x = 1 /2
sen x = 1
Nos dicen que solo debemos buscar las soluciones en el intervalo [0 ,2π), es decir en los 4 primeros cuadrantes
sen x = 1 /2
En el primer cuadrante, sen x = 1 /2 cuando x = π /6 (ángulo con respecto al eje "x"). El seno tambien es positivo en el segundo cuadrante,entonces en el segundo cuadrante, sen x = 1 /2 cuando se forma un Angulo con el eje "x" de π /6, entonces, la solucion en el segundo cuadrante es:
π -(π /6) = (6π -π) /6 = 5π /6
por lo tanto lassoluciones a esta ecuacion son
x = π /6 ; x = 5π /6
sen x = 1
En los cuatro primeros cuadrantes esta ecuacion solo se cumple en
x = π /2
Ahora como la parte de abajo es sen x, y con las solucionessen x = 1 /2 o sen x = 1, no nos queda una division entre 0. Entonces las soluciones son
x = π /6 ; x = 5π /6 ; x = π /2
b) tan x - cot x = 0

sen x .. cos x
_____ - _____ = 0
cos x ...sen xsen² x -cos² x
____________ = 0
sen x •cos x
Factorizando:
(sen x -cos x)(sen x +cos x)
________________________ = 0
sen x •cos x
(sen x -cos x)(sen x +cos x) = 0

Para que el producto sea 0uno de los factores debe valer 0
sen x -cos x = 0
sen x = cos x
π +(π /4) = (4π +π) /4 = 5π /4
Las soluciones a esta ecuacion son
x = π /4 ; x = 5π /4
sen x +cos x = 0
sen x = -cos x
π -(π...