Numeros aleatorios

Teoría de Modelos y Simulación
Enrique Eduardo Tarifa Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Jujuy

Generación de Números Aleatorios
Introducción
Este capítulo trata sobre la generación de números aleatorios. La misma es necesaria para la simulación de sistemas estocásticos como se verá en los siguientes capítulos. En primer lugar se definirá qué se entiende por número aleatorio. Acontinuación se estudiarán las pruebas a que debe ser sometido un generador de número aleatorios antes de ser aceptado. Finalmente, se presentarán métodos para generar variables que siguen distribuciones de frecuente aplicación.

Propiedades de números aleatorios
Una secuencia de números aleatorios R1, R2, ..., debe tener dos importantes propiedades estadísticas: uniformidad e independencia.Cada número aleatorio Ri es una muestra independiente tomada de una distribución continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la función de densidad de probabilidad es: 1 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  (1) 0 otherwise Esta función es graficada en la Figura 1. El valor esperado de cada número Ri es dado por: x2 1 E ( R) = ∫ x dx = = 0 2 0 2
1 1

(2)

y la varianza es dada por: V ( R ) = ∫ x 2 dx − [E (R )]2 =
0 1

x3 1 1 1 1 −  = − = 3 0  2  3 4 12

1

2

(3)

Como consecuencia de las propiedades de uniformidad e independencia se tiene: 1. Si el intervalo (0, 1) es dividido en n clases, o subintervalos de longitudes iguales, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n, donde N es el número total de observaciones. 2. La probabilidad de observar un valor en unintervalo en particular es independiente de los valores previamente observados.

Teoría de Modelos y Simulación. Generación de Números Aleatorios.

1

f(x) 1

0

1
Figura 1: Distribución uniforme.

x

Generación de números pseudos aleatorios
La palabra “pseudos” refiere a que los números generados por los métodos a estudiar no son completamente aleatorios puesto que se conoce elmodo de generarlos, y esta secuencia puede ser reproducida cuantas veces sea necesaria. Realizada esta observación, el objetivo de cualquier generador de números aleatorios es producir una secuencia de números entre cero y uno que tenga las propiedades ideales de uniformidad e independencia. A esto se agrega la necesidad de contar con una longitud de ciclo suficientemente grande. La longitud deciclo, o periodo, representa la longitud de la secuencia de números aleatorios que el generador siempre repite.

Método de congruencia lineal
El método de congruencia lineal es ampliamente utilizado. Este método produce una secuencia de números enteros, X1, X2, ... entre cero y m-1 de acuerdo a la siguiente relación recursiva: X i +1 = (a X i + c) mod m (4) El valor inicial X0 se llama semilla, aes la constante multiplicativa, c es el incremento, y m es el módulo. Si c ≠ 0, se tiene el método de congruencia mixta. Cuando c = 0, se tiene el método de congruencia multiplicativa. La selección de los valores a, c, m, y X0 afecta fuertemente a las propiedades estadísticas y la longitud de ciclo del generador. Como ejemplo del método de congruencia lineal se generará una secuencia para a = 17, c= 43, m = 100 y X0 = 27. En este caso, el entero generado estará entre 0 y 99 debido al valor del módulo. Note también, que si se necesita generar una secuencia de números aleatorios entre 0 y 1, esta puede ser generada por: X Ri = i (5) m Con esto, las secuencias generadas son:
i X R 0 27 --1 2 0.02 2 77 0.77 3 52 0.52

Como puede deducirse de este ejemplo, debido a que Xi es un entero delconjunto {0, 1, 2, ..., (m-1)}, los números aleatorios Ri generados con este método sólo pueden asumir valores del
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conjunto finito I = {0, 1/m, 2/m, ..., (m-1)/m}. Esto significa que se tiene una distribución discreta en lugar de una continua. Ésta será una buena aproximación cuando el módulo sea grande. Cuando esto...