teorema de limites

Teoremas fundamentales sobre límites
En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo,se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.
 
Teorema 1(sobre la unicidad del límite) 
 
Sea  una función definida en un intervalo  tal que . 
Si  y  entonces . 
 

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único. 
 
Teorema 2
 Si  son números reales entonces 

Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio: 
Determine cada uno de los siguientes límites:
1.
2.
Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:
a.
 con ,  en  
 b.
 con  en  
 
 Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
 
Teorema 3
 
Si  y  es un número real entonces se cumple que 
 

 Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio: 
Determine cada uno de los límitessiguientes:
1.
2.
 
Teorema 4
 
Si  entonces .
 Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio: 
Determine los límites indicados.
1.
2.
 
Teorema 5
 

Si  y  son dos funciones para las que  y  entonces secumple que: 
 
 
  Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones. 
Ejemplos:
1.
2.
Ejercicio: Determine los límites siguientes:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.  
 
Teorema 6
 

Si  y  son dos funciones para las que  y  entonces secumple que  
 
Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones. Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicio: 
Determine el valor de cadauno de los límites siguientes:
1.
2.
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones
 
Corolario
 

Si  entonces 
Observe que  (n factores) por lo que...