Sistema De Ecuaciones

Sistema de ecuaciones:
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerposobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor quereemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.
Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos de sistemas:
*Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
*Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
*Sistemas de ecuaciones nolineales.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen lasolución del sistema.
Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:


4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.


5 Solución

Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambasecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

sistema
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:2 Igualamos ambas expresiones:



3 Resolvemos la ecuación:



4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:



5 Solución:


Método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituyeen una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo


Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.



Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.


Solución:Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Método de Gauss
Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reduccióncon la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las...