Sistemas De Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones
Cecilia Herrera Cruz
Instituto de Matemáticas, Física y Estadística .

Índice
1. Sistemas de Ecuaciones
1.1. Para comenzar la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Resolución de sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas .
1.3.1. Método de eliminación por igualación . . .. . . . . . . .
1.3.2. Método de eliminación por sustitución . . . . . . . . . . .
1.3.3. Método de eliminación por reducción . . . . . . . . . . . .
1.4. Casos simples de sistemas cuadráticos de dos ecuaciones con dos
incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Para …nalizar la sección . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

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5
5
6

1.
1.1.

Sistemas de Ecuaciones
Para comenzar la sección

El sábado por la noche fuimos un grupo de amigas a comer. Cuándo llegó la
hora de pagar la cuenta mi amiga Paulina dijo, paguemos cada una $6.700, pero
nos dimos cuenta que así faltaban $1.250 a lo que Ivonne dijo, mejor paguemos
cada una $6.900, pero en ese caso sobraban$950. Yo decidí mejor, hacer un
sistema de ecuaciones. ¿Cuántas amigas estabamos comiendo y cuánto salió la
cuenta?

1.2.

De…nición

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o
más incógnitas.
Ejemplo:
9
2x 4y + z = 6 =
2x 4y = 6
x y 2z = 1
x y =1
;
2x z
= 2
La solución algebraica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, equivale geométricamente aestudiar las posiciones relativas de las dos
rectas en el plano. Es decir, cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lo que
estamos haciendo es encontrar los puntos del plano comunes. Hay casos en los
cuales existen in…nitos puntos de intersección, entonces el sistema tendrá in…nitas soluciones, como también hay casos en los cuales no existe solución, por
ejemplo un sistema con dos rectas paralelasen donde no existe un punto en
común.
En este apunte, nos concentraremos en los sistemas que tienen un número
…nito de soluciones.

1.3.

Resolución de sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2
incógnitas

Existe muchas maneras de resolver los sistemas de ecuaciones, aquí solamente analizaremos algunas de ellas. El método de eliminación que consiste en
obtener de las ecuaciones dadas una solaecuación con una incógnita nos permite
resolver los sistemas de ecuaciones.Los metodos de eliminación más usuales son:
igualación, reducción y sustitución.
1.3.1.

Método de eliminación por igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar los
resultados de este modo deberemos resolver una ecuación de primer grado con
una incógnita..
2

Ejemplo:
Resolver usando el métodode eliminación por igualación.
2x + y = 5
5x 2y = 1
Despejemos en ambas ecuaciones la incógnita x; así se tiene:
: Igualando
de la ecuación (1) x = 5 2 y y de la ecuación (2) x = 1+2y
5
ambos resultados se tiene:
5 y
1+2y
: Multiplicamos cruzado 5(5 y) = 2( 1+2y) y distribuimos.
2 =
5
25 5y = 2 + 4y
27 = 9y
y=3
Este resultado se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones en donde se
despejó laincógnita x:
Por ejemplo
x = 5 2 y = 5 2 3 = 22 = 1
Así la solución del sistema de ecuaciones es
1.3.2.

x=1

y

y = 3:

Método de eliminación por sustitución

Consiste en despejar una incógnita (cualquiera) de una ecuación (cualquiera)
y reemplazar el resultado en la ecuación que no fue utilizada.
Ejemplo:
Resolver utilizando el método de eliminación por sustitución.
2x + y = 5
5x 2y = 1
Despejamosuna incógnita de cualquiera ecuación, por ejemplo despejaremos
y de la primera ecuación.
y = 5 2x: este valor lo reemplazaremos en la segunda ecuación.
5x 2(5 2x) = 1; resolviendo se tiene:
5x 10 + 4x = 1
9x = 9
x = 99 = 1
Este valor lo reemplazamos en la ecuación despejada es decir,
y = 5 2x
y =5 2 1
y =3
Así la solución del sistema de ecuaciones es x = 1 y y = 3

3

1.3.3.

Método de...