Raices de un polinomio

Raíces de polinomios

En ésta página podrás conocer las herramientas necesarias para poder encontrar las raíces de polinomios de una variable con coeficientes enteros.
Para ello hemos dividido esta página en varias secciones, estas son:

1. Definición de polinomios
2. Grado de un polinomio
3. Raíces de un polinomio
4. Factorización de un polinomio
5. Representación gráficade las raíces de un polinomio
6. Teorema fundamental del Álgebra
7. Regla de los signos de Descartes
8. Conjunto de posibles raíces
9. ¿Qué hacer cuando tengamos una raíz?
10. Créditos

Polinomios
Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.
Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente(entero positivo).

Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:

* Monomio (un término):

5 x2 En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2

* Binomio (dos términos):

6 x7 - 2

* Trinomio (tres términos):

3 x5 + 4 x3 - x2

En este trabajo utilizaremos polinomios con coeficientes enteros y potencias enteraspositivas.

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Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:

5 x2 Es un polinomio de grado 2
6 x7 - 2 Es de grado 7
3 x5 + 4 x3 - x2 Es de grado 5
2 x4- x3 - x2 ¿De qué grado es?
6 x5 - 4 x2 - 19 x ¿De qué grado es?
3 x15 + x13 - x2 ¿De qué grado es?
13 ¿De qué grado es?

Nota cómo se deben escribir los polinomios. Sedeben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.

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Raíces de un polinomio
La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Por ejemplo el polinomio
f(x) = x2 + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2

Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?

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Factorización de unpolinomio
El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio (Teorema fundamental del Álgebra).
Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya lasntengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces.

Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x)entonces la factorización de f(x) es:

f(x) = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)

Por ejemplo, si

1.

f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6

como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)

2.

f(x)= x2 + x - 12

como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se hafactorizado como

f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)

Representación gráfica de las raíces de un polinomio
Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).
Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa laraíz del polinomio graficado.

A continuación presentamos algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:



Función Raíces Factorización Gráfica
f(x)= x2 + x - 12 - 4 y 3 f(x) = (x + 4) (x - 3)
f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)
f(x)= x4 - 5 x2 + 4 - 2, - 1, 1 y 2 f(x) = (x + 1) (x + 2) (x - 1) (x - 2)
f(x)= x3 + 4 x2 + 3 x ¿Cuáles son? f(x) =...