ley de cosenos

12/2/2014

Ley de Cosenos

Ley de Cosenos
Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
Entender la geometria de la Ley de Cosenos.
Conseguir los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
Conseguir los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
Reconocer situaciones en donde se usa la Ley de Cosenos.

Introducción
Considera el triángulo ABC con ladosa, b , c y altura AD, mostrado en la siguiente figura:

En el triángulo rectángulo ADC tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras:

b2 = AD2 + DC2

(1)

Por otro lado, como vimos en Trigonometría de
cos C = ACb
Triángulos Rectángulos:
de donde

AC = b cos C

(2)

En el triángulo rectángulo ABD tenemos lo siguiente:
Por el teorema de Pitágoras:

c 2 = AD 2 + BD 2
c 2= AD 2 + ( a − CD ) 2

elevando al cuadrado

c 2 = AD 2 + ( a 2 − 2 a CD + CD 2 )

reagrupando

c 2 = a 2 + ( AD 2 + CD 2 ) − 2 a CD

utilizando los resultados (1) y (2) obtenidos arriba

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

Podemos aplicar el mismo procedimiento utilizando las alturas a los otros lados del triángulo para obtener los resultados análogos.
Este resultado se conoce como laLey de Cosenos. En esta lección utilzaremos la La Ley de Cosenos para resolver triángulos, y
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/ley_cos/ley_cos_right.xhtml

1/7

12/2/2014

Ley de Cosenos

Este resultado se conoce como la Ley de Cosenos. En esta lección utilzaremos la La Ley de Cosenos para resolver triángulos, y
aprenderemos a reconocer las situaciones en las que es posibleaplicarla.

Ley de Cosenos
Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

Aplicación sobre la ley de Cosenos.
El capitán de un barco divisa no muy lejos de su posición una isla y un avión.
Éste calcula de manera aproximada las distancias del barco a la isla y al avión y ángulo que se forma entre elavión, el barco y la
isla, tal y como se muestra en el siguiente applet.
El capitán desea estimar la distancia entre el avión y la isla, observa en el applet como el capitán podría resolver su dilema.
Desplaza el avión y observa como los datos varían.

Se necesita tu permiso para ejecutar Java(TM).

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/ley_cos/ley_cos_right.xhtml

2/7

12/2/2014Ley de Cosenos

Usando la Ley de Cosenos para Conseguir un lado de un Triángulo
Ejemplo 1:
En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x
ex1lal

Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C
x 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°
x 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2
x 2= 100 + 36 − 120 − 1 2
x 2 = 100 + 36 + 60
x 2 = 196
x = 14

Ejemplo 2:
En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/ley_cos/ley_cos_right.xhtml

3/7

12/2/2014

Ley de Cosenos

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a ccos B
x 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45°
x 2 = 36 + 100 − 120 2 2
x 2 = 136 − 602
x 2 ≈ 51.15
x ≈ 7.15

Cuando conocemos dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos, siempre es posible encontrar el tercer lado
aplicando la Ley de Cosenos.
Es importante notar que cuando aplicamos la ley de cosenos no hay ambigüedad en el resultado del ángulo. Como sabemos, un
ángulo de un triángulopuede medir a lo más 180°. Así, si el coseno del ángulo es positivo sabemos que está en el primer
cuadrante, es decir, entre 0° y 90°. Si el coseno del ángulo es negativo sabemos que está en el segundo cuadrante, es decir, entre
90° y 180°.

Usando la Ley de Cosenos para Conseguir los ángulos del Triángulo
Ejemplo 1:
En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y

Solución:
Como...