la ley del coseno

sa la ley del coseno.
Por ejemplo: resolver el triángulo siguiente:
Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que se tiene entonces es lo siguiente:
A = 5 B = ?
a = 43° C = ?
b = 27° c = ?
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. Es decir: c = 180° - a - b.Se sustituyeen esta expresión los ángulos:
c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°
c= 110°
Con esto, se cuenta ya con los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
A . = B _ = C _
sen(a) sen(b) sen(c)
Sustituyendo queda:
Se fija la atención en los dos primeros términos:
En este momento se ignorará el tercer término. De la igualdad que se encuentra en el recuadro sepuede despejar B, (como el sen 27°) y, debido a que está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:
Entonces se calcula la siguiente expresión:

Solamente queda por calcular C. Para ello, se volverá a usar la ley de los Senos, pero ahora si tomaremos en cuenta la igualdad que contenga a la C:

Se sustituye el valor de la B en la igualdad.
Se despeja la C, por lo tanto, comosen 110° está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:
Se realiza la operación correspondiente y resulta:

Con este última dato queda resuelto todo el triángulo.
Obsérvese que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha se hubiera usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:

Escrito ya sin el término de en medio:

Se despeja la C :

Serealizan las operaciones, y el resultado obtenido es igual que el anterior: C = 6.88925
Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos por la ley de senos.
Datos Fórmulas
A = 80° 25', A + B + C = 180°;
B = 35° 43', a = b = c .
c = 60. sen A sen B sen C
Cálculo de C.
A + B + C = 180°; 80° 25' + 35° 43' + C = 180°; 116° 8' + C = 180°
.
. . C = 180° 116° 8' = 63° 52'
Cálculo de a.
a = c ; a = 60Sen A sen C sen 80° 25' sen 63° 52'
a = 60
0.98604 0.89777
.
. . a = (60) (0.98604) = 59.16240 = 65.88
0.89777 0.89777
Cálculo de b.
b = c ; b = 60 .
sen B sen C sen 35° 43' sen 63° 52'
b = 60 .
0.58378 0.89777
.
. . b = (60) (0.58378) = 39.01
0.89777
Ejemplo no. 2
a = 41
B = 27 ° 50´
C = 51°
A = 27 ° 50´+ 51°- 180° = A = 101° 10´
Cálculo de c
a . = c _ 41 _ = c _ c = 32.4778
Sen A Sen C Sen 19° 10´Sen51°
Cálculo de b
b = 41 _ b = 19.5123
Sen 27° 50´ Sen101° 10´
Ejemplo no. 3
a = 78.6
A = 83° 26´
B = 39° 13´
C = 83° 26´+ 39°13´-180° C = 57°21´
Cálculo de b
78.6 = b _ b = 50.0233
Sen83° 26´ Sen39°13´
Cálculo de c
78.6 _ = c . c = 66.6168
Sen83°26´ Sen57° 21´
Ley del Coseno
La ley de los Coseno es un término que permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide queconozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer.  La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.
La ley del Coseno dice así:
“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por elcoseno del ángulo que forman”

Pero si tienes los lados, y quieres saber el ángulo que hacen los lados B y C, entonces realizaras la siguiente formula:
A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo:
Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el ángulo opuesto de B y la cestá en el ángulo opuesto de C. Esto siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá erróneo.
Observa que la ley del coseno sólo será cuando tienes los dos lados y el ángulo que hacen los lados, porque si no te dan el ángulo que hacen los lados, tendrás que usar la ley de senos.
Arriba se muestran las características que tiene que tener el...