Integrales

Rubén Darío Santiago – José Luis Gómez – Blanca Parra

Matemáticas para ingeniería I

Rubén Darío Santiago

José Luis Gómez

Blanca Parra

Matemáticas para ingeniería I
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Razones de cambio y límites
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Razón de cambio promedio
• La razón de cambio promedio de una función f (x) con respecto a x se define como:

Ejemplo de razón de cambio promedio
• Cuando el precio de venta deun libro es $100 se venden al mes 50 libros. Al aumentar el precio a $110 se venden al mes 20 libros. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al precio? • Respuesta: Sea “x” el precio de venta, y “f(x)” los libros vendidos al mes:

∆f (x ) f (x + ∆x ) − f (x ) = ∆x ∆x
• Como su nombre lo dice, la razón de cambio promedio da una medición de cuanto cambia lafunción f cuando x cambia una cantidad “delta x”
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x = 100 x + ∆x = 110 ∆x = 10 f (x ) = 50 f (x + ∆x ) = 20
∆ f (x ) f (x + ∆ x ) − f (x ) 20 − 50 = = = −3 ∆x ∆x 110 − 100 ∆ f (x ) libros = −3 = −3 libros por peso ∆x peso

• Por cada peso que se incrementó el precio, se vendieron en promedio unos 3 libros menos.

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Ejemplo de razón de cambio promedio
• A las 15 horas hay 3200 bacteriasen un frasco. A las 18 horas hay 6400 bacterias. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la población con respecto al tiempo? • Respuesta: Sea “t” el tiempo en horas, y “p(t)” la población:

Ejemplo de razón de cambio promedio
• Un coche se encuentra a 10 Km. de la casa cuando son las 6:00 AM. A las 8:30AM se encuentra a 210 Km. de la casa. ¿Cuál es la razón de cambio promedio de su distancia ala casa con respecto al tiempo? • Respuesta: Sea “t” el tiempo en horas, y “s(t)” la distancia a la casa:

t = 15 t + ∆t = 18 ∆t = 3 p (t ) = 3200 p (t + ∆t ) = 6400
∆p (t ) p (t + ∆t ) − p (t ) 6400 − 3200 = 1066.67 = = 18 − 15 ∆t ∆t ∆p (t ) bacterias = 1066.67 = 1066.67 bacterias por hora ∆t hora

t = 6 t + ∆t = 8.5 ∆t = 2.5 s (t ) = 10 s (t + ∆t ) = 210
∆ s (t ∆t ∆ s (t ∆t

) = s (t )+ ∆ t ) − s (t ) 210 − 10 = 80 = 8 .5 − 6 ∆t km = 80 = 80 kilometros por hora h

• Por cada hora que pasó, la población creció en promedio unas 1067 bacterias. ¿Significa esto qué a las 16 horas había 3200+1067 bacterias?

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• Por cada hora que pasó, se avanzaron en promedio 80 kilómetros. ¿Significa eso que el velocímetro siempre estuvo marcando 80 Km./h? 6

D.R. Tecnológico deMonterrey, 2003

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Rubén Darío Santiago – José Luis Gómez – Blanca Parra
Ejemplo de razón de cambio promedio
• Cuando la longitud de un resorte es 1 cm. produce una fuerza de 4 Newton . Si su longitud es 3 cm. produce una fuerza de 9 Newton. ¿Cuál es la razón de cambio de la fuerza con respecto a la longitud del resorte? • Respuesta: Sea “x” la longitud en centímetros, y “f(x)” la fuerza enNewtons:

Matemáticas para ingeniería I
Temperatura a través de una pared aislante
• En la gráfica se muestra la temperatura en grados centígrados como función de la distancia en centímetros a través de una pared aislante que separa el interior de una casa, que está a 20 grados centígrados, del exterior, que está a una temperatura de – 15 grados centígrados
Exterior a –15 grados Interior de lacasa a 20 grados
Temperatura (grados centígrados)
20 15 10 5 0 -5 -10 -15 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

x = 1 x + ∆x = 3 ∆x = 2 f (x ) = 4 f (x + ∆x ) = 9
∆f (x ) f (x + ∆x ) − f (x ) 9 − 4 = 2.5 = = 3 −1 ∆x ∆x ∆f (x ) N = 2.5 = 2.5 Newtons por centímetro ∆x cm

Distancia (centímetros)

• Por cada centímetro que se alargó, la fuerza se incrementó en promedio 2.5 Newton. ¿Forzosamente a los 2cm. hay una fuerza de 6.5 Newton? 7

• En promedio ¿Cuantos grados por centímetro cambió la temperatura?
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Razón de cambio promedio
• La temperatura cambió de +20 a -15, es decir, cambio -35 grados (negativo porque disminuyó). Este cambio se llevó a cabo desde los cero hasta los 15 centímetros, así que el cambio promedio por centímetro es: 35/15=-2.33 grados/cm.
Exterior a –15 grados...