Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rigido

INDICE


ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGÍDO 4
5.1 Cuerpo rígido. 4
5.2 Momentos de inercia. 4
Tabla 1 5
5.3 Teorema de Steiner. 5
5.4 Movimiento de rotación 6
5.4.1 Movimiento plano general (rotación y traslación simultáneas) 7
Ejemplo1 8
Ejemplo 2 10
Ejemplo 3 11
Ejemplo 4 13

UNIDAD V
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGÍDO

5.1 Cuerpo rígido.
Uncuerpo rígido, es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se deforma y es representado por un conjunto de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante sobre él:
|ra -rb | = c
Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido son las mismas que se utilizan para resolver problemas relacionadoscon cinemática, es decir:

De manera general:

5.2 Momentos de inercia.
El cálculo de momentos de Inercia requiere realizar integraciones. Además el cálculo debe ser en algún origen específico del cuerpo y para ejes determinados. Normalmente se encuentran los momentos de Inercia para orígenes coincidiendo con el centro de masa y para ejes que coinciden con ejes de simetría, cuando los hay. Se darán algunosejemplos de cálculo, pero ahora daremos los resultados para los cuerpos de formas más simples.
Por ejemplo:

Cilindro | I = ½ MR² |
Esfera | I = 2 /5MR² |
Barra delgada en su centro | I = 1 /12ML² |
Barra delgada en su extremo | I = 1 /3ML² |
Tabla 1
Resultados para los cuerpos de forma más simple.

5.3 Teorema de Steiner.
Conocido el momento de inercia para un eje que pasa por elcentro de masa G, se puede calcular el momento de inercia para otro eje paralelo al anterior en un punto A mediante la relación conocida como teorema de Steiner.
IA = IG + Md2
Dónde:
D: es la distancia entre esos dos ejes.
Para demostrarlo considere ejes GX"Y"Z" con origen en G, y ejes paralelos AXY Z con origen en A. Consideremos solamente momentos de inercia respecto al eje Z, porque lademostración para los otros es análoga.
Entonces tenemos:

Pero las coordenadas están relacionadas De:

Se obtienen:

5.4 Movimiento de rotación
El caso más simple ocurre cuando el cuerpo puede solamente girar entorno a un eje fijo. Si llamamos O al punto del cuerpo por donde pasa el ejede rotación, nuestra relación fundamental entre torque y momento angular es:

La energía cinética delcuerpo es

Que pueden escribirse

5.4.1 Movimiento plano general (rotación y traslación simultáneas)
En estos casos el cuerpo se traslada y además rota respecto a un eje perpendicularal plano de movimiento. En estos casos es conveniente considerar las rotaciones respecto a un eje que pasa por el centro de masa porque se cumple que

O bien para la componente perpendicular al plano delmovimiento

Además de

Puede ser útil la energía cinética, cuya expresión es

Siendo la primera parte llamada energía cinética de traslación y la segunda parte energía cinética de rotación.

Ejemplo1

Fig. 1 energía cinética.

El sistema está formado por una barra delgada y homogénea OA, de 2 m de longitud y 10 N de peso, articulada en O y rígidamente unida a un disco homogéneo B de 1 mde radio y 20 N de peso se suelta desde el reposo en la posición indicada en la figura.
* a) Hallar la aceleración angular a del sistema correspondiente a esa posición inicial de su movimiento.

Fig. 2
Como se trata de una rotación baricéntrica alrededor de un eje fijo que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento se considerarán los ejes normal y tangencial que se indican en lafigura anterior.
Para localizar la posición del centro de masa C, del sistema, se ubicará el sistema de ejes cartesianos con origen en O como se indica. Por simetría, el centro de masa se halla sobre el eje x, tomando momentos con respecto a dicho punto se obtiene:
R(10+20)=10(1)+20(3)=70
Entonces:
r=70/30=7/3= 2.33 m
Considerando:
Mo=Io a
Io=I1+I2
I1=M1L12/3= 1/3 (10/9.8)(22)

Y...