ecuaciones cuantitativas


INTRODUCCION.
Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etc. Cada material o substancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación sólo depende de la organización molecular interna. En mecánica de sólidos y en ingeniería estructural, lasecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo de tensiones con la deformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de los tensores tensión, deformación y velocidad de deformación. Para un material elástico lineal la ecuación constitutiva se llaman ecuaciones de Lame-Hooke o más simplemente ley de Hooke.

En esta unidad trata de las ecuaciones que caracterizanla respuesta de un determinado material frente a las cargas exteriores, es decir, de la relación entre tensiones y deformaciones. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones constitutivas pues describen el comportamiento macroscópico resultante de la constitución interna de un material. La respuesta real de fluidos y solidos es extremadamente compleja y variada. No solo se ve influida por accionespuramente mecánicas, sino también por cambios de temperatura o humedad, e incluso por la historia del material, es decir por situaciones en las que se ha encontrado con anterioridad. No resulta posible escribir un conjunto de ecuaciones que describan el comportamiento de un material frente a todas las acciones posibles en cualquier situación, por ello es preferible analizar lo que denominamosmodelos ideales de comportamiento, asociados a comportamientos simplificados que reproducirán con suficiente precisión la respuesta de algunas sustancias frente a determinadas acciones con valores comprendidos en un cierto intervalo. En principio consideraremos tres tipos de comportamiento ideal: el modelo elástico, el modelo plástico y el modelo viscoso.
















5.1- ECUACIONGENERALIZADA DE ESFUERZO DE HOOKE

De todos es conocida la sencilla formula, conocida como «Ley de Hooke»:


Que relaciona la deformación de una barra sometida a esfuerzo axil, con la tensión normal generada por dicho esfuerzo, y sabemos que a la constante «E» se le denomina Módulo de elasticidad, y no vamos a extendernos en sus características.
Podemos plantearnos ahora la pregunta: ¿Cómoes la relación tensión -deformación en un estudio en tres dimensiones? En otras palabras, queremos saber cómo relacionar las seis componentes de la tensión en un punto con las seis correspondientes de la deformación, en ese mismo punto.
Existen dos caminos para alcanzar nuestro «desiderátum». Por un lado tenemos el camino matemático y por otro el semiempírico o, diríamos, ingenieril. Utilizando elprimero, escribimos la relación entre tensión y deformación como sigue:














A su vez, pudramos poner las componentes de la deformación en función de las de la tensión, lo que supondrá otras 36 constantes en las ecuaciones.El conjunto de ecuaciones es una generalización lógica de la ecuación ya que suponemos que cada componente de la tensión es una combinación lineal detodas las componentes de la deformación. Los coeficientes  representan propiedades del material para el que se establecen las ecuaciones. Si suponemos que el material es isótropo, estas constantes deben ser las mismas para cualquier sistema ortogonal de coordenadas en el punto en cuestión.
En lo que sigue vamos a utilizar el camino «semiempirico» para obtener las ecuaciones tensión - deformación.Y aclaramos ya que el nombre semiempirico procede del hecho de considerar ciertos supuestos cuya validez proviene de las numerosas confirmaciones experimentales llevadas a cabo en la práctica en condiciones adecuadas a las bases de este estudio. Los supuestos en cuestión, son:
Una tensión normal,  no produce deformación de cizalla dura en los planos,  o .
Una tensión tangencial,  solo genera...