vibraciones

DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA MECÁNICA,
ENERGÉTICA
Y DE MATERIALES

TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

Sistemas de
1 Grado de
Libertad
3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DELIBERTAD

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3.1

TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

Introducción

Se estudian aquí las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que se
introducen algunos conceptos importantes a los que se hará referencia posteriormente. Los
sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen unaexcepcional importancia en la Teoría
de las Vibraciones porque:
Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzar
por su estudio.
Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas
con 1 gdl (Fig. 6).
Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemas
con más grados de libertad.
Mediante la técnica del "análisismodal" los sistemas lineales con n gdl pueden
resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.

Figura 6.a – Farola modelizada como un sistema de 1 gdl

Figura 6.b – Suspensión de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdl
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Componentes del
sistema discreto básico
de 1 gdl

Se conoce como sistema discreto básico de un grado de libertad al sistema de parámetros
concentrados que puede observarse en la Figura 7.
La energía cinética del sistema se
almacena en la masa indeformable
m, la energía potencial elástica en el
resorte sin masa de constante k, y la
capacidad dedisipación de energía
en el amortiguador viscoso que se
mueve con velocidad proporcional a
la fuerza, con constante de
proporcionalidad c.

Figura 7 – Sistema discreto básico de 1 gdl

El sistema queda totalmente definido
mediante la coordenada x (Figura 7).
Para que el sistema sea lineal los
parámetros k, m, y c deben ser
constantes y no depender de la
variable x. Las fuerzas presentes sinla acción de una acción exterior son
las de la Figura 8.

Figura 8 – Fuerzas actuantes

Si se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la dirección positiva de x, la ecuación del
movimiento del sistema discreto básico, común a todos los sistemas lineales con 1 gdl,
puede establecerse aplicando D’Alembert, introduciendo la fuerza de inercia, y
estableciendo el equilibrio de fuerzas en ladirección x:

m(t ) + cx(t ) + kx = f (t )
x

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3.3

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Vibraciones libres en
sistemas de 1 gdl

Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuación diferencial ordinaria de orden

x
2vista en el apartado anterior: m(t ) + cx(t ) + kx(t ) = f (t )
Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen acciones
exteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y sí unas condiciones iniciales distintas de la trivial


nula, x 0 = x(t 0 ), x 0 = x(t 0 ) , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest
Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial resulta:
C(ms2+ cs + k) est = 0
La expresión x(t) = Cest representará una solución para todos aquellos valores de s que
satisfagan la ecuación anterior. Estos valores son las raíces de la ecuación característica
ms2 + cs + k = 0:
s=−

c
±
2m

(c 2m) − k m
2

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
2
Como k/m es una constante positiva, podemos hacer ω = k m y en la ecuación
característica resultan...