topografia

Cap´
ıtulo 1

An´lisis de Error
a
El An´lisis Num´rico es una rama de las matem´ticas que, mediante el uso de algoritmos iterativos, obtiene solua
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ciones num´ricas a problemas en los cuales la matem´tica anal´
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ıtica resulta poco eficiente y en consecuencia no puede
ofrecer una soluci´n. En particular, a estos algoritmos se les conoce como m´todos num´ricos. Dichos m´todos se
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componen de un n´mero finito de pasos que se ejecutan de manera l´gica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta
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cantidad, hasta que se cumple con cierta cota de error. Al proceso c´
ıclico de mejora de la aproximaci´n se le denota
o
como iteraci´n.
o
Para resolver los problemas previamente mencionados se debe seguir el siguiente proceso:

En la etapa de An´lisis puedengenerarse un error al dise˜ar las hip´tesis o supuestos del modelo, as´ como al reaa
n
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lizar una simplificaci´n de ´ste. En el Dise˜ o los errores num´ricos est´n en relacionados directamente con el modelo,
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es decir, en la construcci´n de f´rmulas y algoritmos para generar una soluci´n se pueden llegar a presentar errores de
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truncamiento. En la partedeInstrumentaci´n se necesitan almacenar los datos para ser posteriormente analizados
o
los cuales son afectados por los errores de redondeo.
Un modelo matem´tico es una formulaci´n matem´tica del problema que se intenta resolver. Un algoritmo
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o
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es una serie de pasos ordenados necesarios para la resoluci´n de un problema. Los elementos necesarios son: conocer
o
previamente la formulaci´n y suvalidez, los datos necesarios y las restricciones del modelo.
o
Los errores que se presentan afectan de manera independiente el resultado por lo que en la presencia de varios la
magnitud del error total se incrementa. Debido a que los m´todos num´ricos son aproximaciones de una soluci´n, es
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necesario definir los tipos de errores as´ como un mecanismo para cuantificarlos.
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Definici´n 1.1(Error) La diferencia entre un resultado obtenido experimentalmente y el obtenido a trav´s del m´todo
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num´rico.
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Los errores pueden clasificarse de la siguiente manera
a) Errores del modelo o inherentes Son producto de factores intr´
ınsecos a la naturaleza, el ambiente y las personas mismas. Los errores inherentes son imposibles de remediar aunque puedan minimizarse y no pueden sercuantificados. Existen dos errores de este tipo:
1. Incertidumbre: Se refierene a las dimensiones f´
ısicas que no podr´n ser medidas en forma exacta debido a la
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naturaleza de la materia y a las imperfecciones de los instrumentos de medici´n. Ej: Medici´n exacta de la
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circunferencia de la Tierra.

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An´lisis Num´rico
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2. Errores humanos: Situaciones que se producen alintroducir la informaci´n, al equivocarse en la interpretao
ci´n de los datos o en la lectura de los instrumentos de medici´n. Ejemplo: Cuando se trabaja continuamente
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en el an´lisis de datos pueden pasar desapercibida cierto tipo de informaci´n. Este efecto se le conoce como
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ceguera de taller.
b) Errores del m´todo: Surgen por la limitaci´n en la representaci´n y manipulaci´n decantidades num´ricas utie
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lizadas en los c´lculos necesarios en el desarrollo de los modelos matem´ticos. Los dos tipos de este error m´s
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importantes son:
1. Truncamiento: Yace a ra´ de la imposibilidad de manipular, por parte de un instrumento de c´mputo,
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una cantidad infinita de cifras. Las cifras eliminadas al truncar el valor no son tomadas en consideraci´n.
oEjemplo: π = 3.1415926535897932384626... y si se trunca el valor en la sexta cifra, la aproximaci´n ser´
o
ıa
3.141592.
2. Redondeo: Es similar al truncamiento aunque aqu´ si se consideran las cifras que fueron removidas. Ejemplo:
ı
Si se toma π = 3.1415926535897932384626... y se redondea la sexta cifra entonces la aproximaci´n es
o
3.141593. Si el n´mero a redondear es ≥ 5 entonces se...