Series de mclaurin y taylor:

SUBTEMA 6.3.4.- Series de Taylor y Serie de McLaurin.

SERIES DE MCLAURIN Y TAYLOR:

Sea la fórmula de McLaurin
[pic]
siendo [pic] con 0 < z < x.
Es decir [pic].
Llamaremos serie deMacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión

[pic]
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberácumplirse que:

1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

2)[pic].

Ejemplo: Sea f(x) = ex
[pic]
Veremos si[pic].
[pic] que [pic].

Ejercicio:
Desarrollarf(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx ; fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 ygeneralizando

[pic] pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente
[pic] con lo que [pic] y finalmente
[pic]

Estudiemos el intervalo de convergencia
[pic]y por lo tanto I = R

SERIE DE TAYLOR

[pic]
De lo que se obtiene:
[pic]
Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

Serie de Taylor

En matemáticas, la serie de Taylor de formulafunción f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
[pic]
sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.
[pic]
Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y lasuma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analíticasi y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama...