Serie De Taylor

SERIE DE TAYLOR
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie,por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc.
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exactoserá el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

O expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en elresultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor.
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, comolas exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

La ecuación para el término residual se puede expresar como:



Significa que elerror de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

Existen series de Taylor para:
Función exponencial
Logaritmo natural
Serie Geométrica
Teorema del binomio
Funciones trigonométricas:
Seno
Coseno
Tangente
Arco seno
Arco tangente
secante
Funciones hiperbólicas:
Senh
Cosh
Tanh
Senh-1
Tanh-1Función W de Lambert

Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:


Estabilidad y Condición:
La condición de un problema matemáticorelaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Usando la serie de Taylor de primer orden:


Estimando el error relativo de f(x) como en:


El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón deestos errores relativos:

Número Condicionado:



El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):
Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.
Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.
Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo estádisminuyendo.
Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.

El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora.
El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de...