Series De Taylor
Páginas: 3 (695 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2011
SERIES DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO
La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión enseries de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.
Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene unaestimación exacta mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a lasolución verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa queel error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.
Ejemplo: Si el error es O(h) y se reduce a la mitad del paso, entonces elerror se reduce a la mitad. Si el error es O(h2) el error se reducirá a la cuarta parte.
Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ =u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.
Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:Estabilidad y Condición:
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.
Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores deentrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Usando la serie de Taylor de primer orden:
Estimando el error relativo de f(x) como en:
El error relativo de x está dado por:...
La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión enseries de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.
Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene unaestimación exacta mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a lasolución verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa queel error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.
Ejemplo: Si el error es O(h) y se reduce a la mitad del paso, entonces elerror se reduce a la mitad. Si el error es O(h2) el error se reducirá a la cuarta parte.
Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ =u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.
Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:Estabilidad y Condición:
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.
Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores deentrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Usando la serie de Taylor de primer orden:
Estimando el error relativo de f(x) como en:
El error relativo de x está dado por:...
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