Funciones reales de una variable real

fundamentos matemáticos
en la arquitectura 1

Tema 1

Funciones reales de una variable real
1.1. Repaso de conceptos b´sicos.
a
1.2. Polinomios de Taylor.
1.3. Repaso del c´lculo integral.
a
1.4. Introducci´n a la derivaci´n e integraci´n num´rica.
o
o
o
e

1. Funciones reales de una variable real

fundamentos matemáticos
en la arquitectura 1

´
´
GUION TEORICO
1.1.-Repaso de conceptos b´sicos.
a
1.1.1.- Conceptos b´sicos.
a
´
Definicion 1.1.
Llamamos funci´n real de una variable real a una aplicaci´n
o
o
f : D ⊂ R −→ R
que a cada elemento x ∈ D le asocia un n´mero real que denotaremos f (x).
u
´
Definicion 1.2.
Sea f : D ⊂ R −→ R una funci´n.
o
Llamamos dominio de f , y lo denotamos Dom(f ), al conjunto D.
Llamamos dominio maximal de f almayor subconjunto de R en el que se pueda definir
la funci´n f .
o
Llamamos imagen de un elemento x ∈ D al n´mero real f (x).
u
Llamamos imagen de f , y la denotamos Im(f ) o f (D), al conjunto {f (x) / x ∈ D}, es
decir, Im(f ) es exactamente el conjunto formado por las im´genes de todos los elementos
a
del dominio de f .

´
Definicion 1.3.
Dos funciones f y g son iguales si se verifican lassiguientes condiciones:
i) Sus dominios coinciden;
ii) f (x) = g(x) para todo elemento x del dominio.

1.1.2.- Funciones elementales.
3

fundamentos matemáticos

1. Funciones reales de una variable real

en la arquitectura 1

Funci´n constante:
o
f : D ⊂ R −→ R
→

x

f (x) = k

A todo elemento x ∈ D se le asigna como imagen el valor real k. Es claro que el dominio
maximalde este tipo de funciones es R y que su imagen se reduce al conjunto {k}.

k

-2

-1

0

1

2

´
Fig. 1: Funcion constante

Funci´n potencia de exponente b (b ∈ R):
o
f : D ⊂ R −→ R
→

x

f (x) = xb

El dominio maximal depende del valor de b, por ejemplo, para b = 2 obtenemos la funci´n
o
f (x) = x2 , cuyo domonio maximal es R puesto que todo n´mero real puede serelevado al
u
1
cuadrado. Para b = −1, obtenemos la funci´n f (x) = x−1 = x , cuyo dominio maximal es
o
1
R−{0}, ya que cero es el unico n´mero real que no tiene inverso. Para b = 2 , obtenemos la
´
u
√
1
funci´n f (x) = x 2 = x cuyo dominio maximal es [0, +∞). La funci´n potencia verifica
o
o

(xy)b = xb y b

para todos x, y ∈ R.

Obs´rvese que todas las funciones ra´
e
ıcespertenecen a este ultimo grupo ya que
´
para todo n ∈ N, n ≥ 2.

3
4
2.5
2

2
1.5

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5
1

-2
0.5
-4
2

´
Fig. 2: Grafica de

1
x

4

6

´
Fig. 3: Grafica de

4

8

√

x

√
n

1

x = xn

1. Funciones reales de una variable real

fundamentos matemáticos
en la arquitectura 1

Monomio:
f : D ⊂ R −→ R
x

,

f (x) =λxr

→

siendo λ ∈ R − {0} y r ∈ N.

Al n´mero r lo llamamos grado del monomio. Por ejemplo, f (x) = 3x2 es un monomio
u
de grado dos. El dominio maximal de cualquier monomio es R.
Funci´n exponencial de base a (a ∈ R+ ):
o
f : D ⊂ R −→ R
f (x) = ax

→

x

El dominio maximal de esta funci´n es R. Dados x, y ∈ R se cumple
o
ax+y = ax ay

y

(ax )y = axy .

En el casoparticular a = 1 la funci´n exponencial de base a es la funci´n constante 1.
o
o
En el caso a = e, hablamos simplemente de funci´n exponencial .
o

20
15
10
5

-3

-2

-1

1

2

3

´
Fig. 4: Grafica de ex

Funci´n logar´
o
ıtmica de base a (a ∈ R+ − {1}):
f : D ⊂ R+ −→ R
x

→

f (x) = loga (x)

El dominio maximal es (0, +∞). La funci´n logar´
o
ıtmica verifica lassiguientes propiedades
para todos x, y > 0 :
1. loga (xy) = loga x + loga y
2. loga (xy ) = y loga x
3. loga

x
y

= loga (x) − loga (y)
5

fundamentos matemáticos

1. Funciones reales de una variable real

en la arquitectura 1

En el caso a = e, hablamos simplemente de funci´n logaritmo y la representamos por
o
log(x). La identidad
loga x =

logx
loga

para todo x > 0 y...