Valores y vector

sVALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Sea T: V --> W una transformación lineal. En diversas aplicaciones, resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y una escalar λ tal que
Tv = λv (1)
Si v ≠ 0 y λ satisface a (1), entonces λ se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valorcaracterístico λ. El propósito de este trabajo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz A. Por esta razón se estudiaran los valores y los vectores característicos de las matrices de n x n.
DEFINICION DE VALOR CARACTERÍSTICO Y VECTOR CARACTERÍSTICO
Sea A una matriz de n x ncon componentes reales. El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que
Av = λv (2)
El vector v ≠ 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico λ.
Nota: Los valores y vectores característicos también se denominan valores y vectores impropios o eigenvalores y eigenvectores; lapalabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”.
Ejemplo:
Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 x 2.
Sea A = 10-186-11. Entonces A21 = 10-186-1121 = 21. Así, λ1 = 1 es un valor característico de A con el correspondiente vector característico v1 = 21.
De manera similar, A32 = 10-186-1132 = -6-4 = -232 de modo que λ2 = -2 es un valor característico de A conel correspondiente vector característico v2 = 32.
Teorema 1
Sea a una matriz de n x n. Entonces λ es un valor característico de A si y solo si
p(λ) = det (A – λI) = 0 (4)
ECUACION Y POLINOMIOS CARACTERISTICOS
La ecuación (4) se denomina la ecuación característica de A; p(λ) se denomina el polinomio característico de A.
Como será evidente en los ejemplos, p(λ) es un polinomio degrado n en λ. Por ejemplo, si
A = abcd, entonces A – λI = abcd - λ00λ = a- λ00d- λ y p(λ) = det (A – λI) =
(a – λ)(d - λ) – bc = λ2 – (a + d) λ + (ad – bc).
De acuardo con el teorema fundamental del algebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tienen exactamente n raíces. Esto significa, por ejemplo, que el polinomio (λ – 1)5 tiene cinco raíces, todas iguales alnumero 1. Como cualquier valor característico de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que
Contando multiplicidades, toda matriz de n x n
Tiene exactamente n valores característicos.

CALCULO DE VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS
Ejemplo
Sea A = 4233 . Entonces det (A – λI) = 4- λ233- λ = (a – λ)(3 – λ) – 6 = λ2 - 7λ + 6 =
(λ – 1)( λ – 6). Entonces los valorescaracterísticos de A son λ1 = 1 y λ2 = 6.
Para λ1 = 1 se resuelve (A – I)v = 0 o 3232x1x2 = 00. Es claro que cualquier vector característico correspondiente a λ1 = 1 satisface 3x1 + 2x2 = 0. Un vector característico de este tipo es v1 = 2-3.
Así E1 = gen 2-3.
De manera similar, la ecuación (A – 6 I)v =0 significa que -223-3x1x2 = 00 o x1 = x2.
Entonces v2 = 11 es un vector característicocorrespondiente a λ2 = 6 y E6 = gen 11.
Observe que v1 y v2 son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro.
MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACION
Definición de matrices semejantes
Se dice que dos matrices A y B de n x n son semejantes si existe una matriz invertible C de n x n tal que
B = C-1 AC (1)
La función definida pro (1) que lleva la matriz A en la matriz B sedenomina transformación de semejanza. Se puede escribir esta transformación lineal como
T(A) = C-1 AC
Definición alternativa de semejanza
A y B son semejantes si y solo si existe una matriz invertible c tal que
CB = AC
Ejemplo
Sean A = 210-1, B = 4-25-3 y C = 2-1-11.
Entonces CB = 2-1-114-25-3 = 3-11-1 y AC = 210-12-1-11 = 3-11-1
Así. CB =AC. Como det C = 1 ≠ 0, C es invertible. Esto...