Valores Y Vectores Propios

Valores y vectores propios
Supongamos una transf. Lineal T:V V y queremos hallar un v E V tal que T(v)//v. Osea T(v)= λ.v (+) con λ escalar.
Si λ≠ 0 satisface (+) decimos que λ es un valor propiode T y al vector v se lo llama vector propio correspondiente al valor propio λ.
Definicion: Si A es una matriz mxn entonces un vector x diferente de cero en C^n se denomina vector propio de A si A esun múltiplo escalar de x. Es decir A.x= λ.x para algún escalar λ. El escalar λ se denomina valor propio de A y se dice que x es un vector propio de A correspondiente a λ. Para calcularlos: A.x= λ.xA.x – λ.x= 0 (A – λ.I).x= 0
[Det (A – λ . I)= 0] ecuación caracteristica

Multiplicidad geométrica
Suponga que λ es un valor propio de A , entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensióndel espacio característico que le corresponde.
Multiplicidad alegebraica
La cantidad de veces que aparece (λ – λo) en el polinomio característico es la multiplicidad algebraica de λo.
*Teorema: Siλ es un valor propio de A entonces [Mult.Geometrica ≤ Mult.Algebraica]
*Teorema: Si A y B son matrices semejantes nxn, entonces tienen la misma ecuación característica y por lo tanto los mismosvalores propios.
Demostracion: Si A y B son semejantes B=P^-1.A.P B- λ.I = P^-1.A.P- λ.I
Det(B- λ.I) = det (P^-1.A.P – λ .I)
= det(P^-1. A.P – P^-1 . λ.I.P)
= det (P^-1 (A-λ.I).P)
= det (P^-1) det(A- λ.I) det (P)
Det(B- λ.I)=det (A – λ.I)
Propiedades
+) Si λ es valor propio de A, entonces k. λ es valor propio de k.A con k ∈ R
Dem: Si λ es valorpropio de A A.x= λ.x
k.(A.x)= k.( λ.x)
(k.A)x = (k. λ)x
k. λ es valor propio de k.A
+) Si λ es valor propio de A no singular , entonces λ^-1 es valor propio de A^-1
Dem: Si λ esvalor propio de A A.x= λ.x
A^-1. A. x= A^-1. λ.x
I.x = λ.(A^-1.x)
λ ^-1 .x= A^-1 . x
λ^-1 es...