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Álgebra de Boole

Tema 5

¿Qué sabrás al final del capítulo?
Leyes y propiedades del Algebra de Boole  Simplificar funciones utilizando el Algebra de Boole  Analizar circuitos mediante Algebra de Boole y simplificarlos  Pasar de una tabla de verdad a Suma de Productos y Producto de Sumas  Utilizar Mapas de Karnaugh para simplificar funciones lógicas


Algebra de Boole
En Algebrahabéis aprendido leyes y propiedades. Por ejemplo, la propiedad Conmutativa de la Suma A + B = B + A (A y B son números enteros o reales)
En 1860 George Boole desarrolló un Algebra en la que los valores de A y B sólo podían ser “verdadero” o “falso” (1 ó 0). Se llama Algebra de Boole y se utiliza en Electrónica Digital

Operaciones del Algebra de Boole
Suma Booleana es la función lógica OR X=A+ B Multiplicación Booleana es la función lógica AND X = AB

Commutativa de la suma
A+B = B+A El orden en la OR no importa

Conmutativa del producto
AB = BA El orden en la AND no importa

Asociativa de la suma
A + (B + C) = (A + B) + C Agrupar variables en la OR no importa

Asociativa del producto
A (B C) = (A B) C Agrupar variables en la AND no importa

Distributiva
A(B + C)= AB + AC

A B C

X=Y

X Y

Distributiva
(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD

A B C D X Y

X=Y

A+0=A
Hacer una operación OR con 0 no cambia nada.

A
X=A

X

A+1=1
Hacer una operación OR con 1 da siempre 1.

A X=1 X

A•0=0
Hacer una operación AND con 0 siempre da 0

A

X=0

X

A•1 =A
Hacer una operación AND con 1 no cambia nada

A X=A X

A+A = A
Haceruna operación OR consigo mismo da el mismo resultado

A A A=A

X

A+A=1
O bien A o A serán 1, luego la salida será 1

A A X=1 X

A•A = A
Hacer una operación AND consigo mismo da el mismo resultado

A A A=A

X

A•A =0
Bien A o A son 0 luego la salida será 0.

A A X X=0

A=A
Si negamos algo dos veces volvemos al principio

A X=A

X

A + AB = A

A B X

A + AB = A+ B (absorción)
Si A es 1 la salida es 1 Si A es 0 la salida es B

A B X Y

X=Y

(A + B)(A + C) = A + BC

A B C

X Y

Tres leyes y doce propiedades en Algebra de Boole

Leyes de De Morgan
De Morgan ayuda a simplificar circuitos digitales usando NORs y NANDs. A•B=A+B A+B=A•B

Igual para más de 2 variables.

Ambos circuitos tienen la misma salida: De Morgan funciona

A +B+C + D = A • B • C • D

Cálculo de la expresión algebraica de salida (ejemplo 1)

(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD

X e Y son iguales

Cálculo de la expresión algebraica de salida (ejemplo 2)

X = (A+B) C + CD + B
= (A+B) C · CD + B = (A+B) C · (CD + B)

= A B C · (C +D +B)
= A B C C + A B C D +A B C B =AB C D

Los circuitos son iguales

Análisis Booleano deFunciones Lógicas
El propósito de este apartado es obtener expresiones booleanas simplificadas a partir de un circuito Se examina puerta a puerta a partir de sus entradas Se simplifica usando las leyes y propiedades booleanas.

Ejemplo 1

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D) X= AB + C+ D

Ejemplo 2

X = (AB)(CD) X = ABCD

Ejemplo 3

X = ABCD +A

Simplificando:
X= A + BCD

Ejemplo 4

X = (AB+B)BC

Usando la propiedad distributiva:
X = ABBC +BBC

En la siguiente transparencia se ve cómo las dos cosas son lo mismo

X = ABC + BBC X = ABC + 0•C X = ABC + 0 X = ABC

Ejemplo 5

X = (A +AB) +(B(C+D))

X = (A + B) + (B(C + D))

X = (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD (sigue en la próxima transparencia)

X =A + B + BD + C
X =A+ B + D + C

Los circuitos son iguales

Expresiones booleanas desde tablas de verdad
Producto de sumas
Y=(A+B+C)·(D+C)·(E+F) Suma de productos Y= A·B·C+B·C·D+A·C·D o directamente Y= ABC+BCD+ACD

Sumas de productos
La función es 1 cuando ABCD=1111 o cuando ABCD=1110
Cuando ABCD=1111, el producto ABCD y sólo ése es 1. Cuando ABCD=1110, el producto ABCD’ y sólo ése...