Radio E Intervalo De Convergencia

Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergencia
En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma, con, viene dado por laexpresión:

Definición
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma, con, recibe el nombre de serie de potencias centrada en. La serie converge absolutamente para un conjuntode valores de  que verifica que, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de  pertenecientes al intervalo  , ya que laconvergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi-abierto o cerrado. Si la serie converge solo para ,. Si lo hace paracualquier valor de,  
Ejemplos:
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio deconvergencia es el dado.

* Radio de convergencia finito
La función  en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia, tiene el siguiente aspecto:
.
(Para el cálculo de la serievea serie de Taylor). Su radio de convergencia es. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al  es menor que, por ejemplo el, entonces al remplazarlo en la serie elresultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
.
(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio deconvergencia, por ejemplo el , los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
.

* Radio de convergenciainfinito
Por ejemplo, la función  puede desarrollarse en series de potencia de, de hecho.
y esto vale para todo real  por eso el radio de convergencia será infinito.

Intervalo de convergencia 
Se...