Polinomios

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4
FUNCIÓN POLINÓMICA
En las aplicaciones de la matemática a las ciencias, economía u otras áreas, muchas situaciones se modelan utilizando funciones polinómicas. Por ejemplo, el volumen de un silo de granos de altura constante, se describe como una función polinomial de su radio.
Una de las ventajas de las funciones polimoniales es que involucran solamente operacionesde suma, resta y multiplicación, por lo que su evaluación se hace rápidamente.
Problema:
El volumen de una caja de cartón de base cuadrada, es función de la medida de su arista (en centímetros). Encuentra la ley de la función para la caja de la figura. ¿De qué tipo de función se trata? ¿Cuál es el dominio de la función?
Como la caja tiene forma de prisma rectangular, la medida de suvolumen se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura.
Por lo tanto el volumen
Multiplicando se obtiene . Se trata de una función polinomial, cuya expresión algebraica asociada es un polinomio de grado 3.
Debido a que tanto x como v representan cantidades positivas: longitud y volumen respectivamente, debe ser y , o sea . Luego el dominio de la función está formadopor todos los números reales mayores que cero y menores que 12, es decir:





Ejemplos:
a) Una función constante es una función polinómica de grado 0
b) Una función lineal , es una función polinómica de grado 1.
c) Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2.
d) , es una función polinómica de grado 5

GRÁFICA FUNCIONESPOLINÓMICAS
La gráfica de toda función polinómica es suave (sin esquinas o picos) y continua (sin interrupciones o saltos)






Para construir la gráfica de una función polinómica es importante tener en cuenta varios aspectos. Uno de ellos es determinar los ceros de la función y analizar los signos de la función en los intervalos que dichos ceros determinan.
Como los ceros reales deuna función determinan su intersección de su gráfica con el eje x, en esas intersecciones la gráfica debe cruzar o tocar al eje x. Entre dos intersecciones la gráfica está por encima o por debajo del eje x.
Factorizar completamente una función polinómica permite resolver fácilmente la ecuación f(x)=0 y localizar las intersecciones con el eje x. Si x =x0 es un cero de multiplicidad par, elsigno de f(x) no cambia de un lado al otro de x0. La gráfica toca al eje en ese punto.
Si x=x0 es un cero de multiplicidad impar, el signo de f(x) cambia de un lado a otro de x0. La grafica cruza al eje x en ese punto.
Entre dos ceros sucesivos, los valores de la función serán todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros consecutivos la gráfica se encontrará en su totalidad porencima o por debajo del eje x.
Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que esa raíz se repite como tal.
Ejemplo: En las raíces son:
x = 0 de orden de multiplicidad triple.
x = -5 de orden de multiplicidad simple.
x = 1 de orden de multiplicidad doble

CONJUNTO DE POSITIVIDAD Y NEGATIVIDAD
Para hallarlos valores de x tal que f(x) > 0 (C+) y/o f(x) < 0 (C-) es conveniente que la función esté factorizada. Veamos un ejemplo:
f(x) = (2x − 1)(x − 3)x2
Hallamos el intervalo de positividad y de negatividad, es decir los valores de x tales que:
(2x − 1)(x − 3)x2 > 0 y (2x − 1)(x − 3)x2 < 0
Analicemos el signo de cada factor.
Para analizar el signo de unproducto, es muy útil proceder gráficamente de la siguiente manera:
1) Se dibuja una recta numérica para cada factor y allí se indica su signo.
2) Se aplica la regla de los signos para obtener el signo del producto.
Veamos cómo hacerlo en el ejemplo que estamos considerando:

sig(2x − 1) ----------------------++++++++++++++++++++++++++++++++++
½
sig(x − 3)...