numero complejo

TEMA 6 – NÚMEROS COMPLEJOS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach.

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TEMA 6 – NÚMEROS COMPLEJOS
6.1 – EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIONES
Al resolver ecuaciones del tipo : x2 + 1 = 0 ⇒ x = ±
números reales.

− 1 que no tiene solución en los

Los números complejos nacen del deseo de dar validez a estas expresiones. Para ello es
necesario admitir como número válido a − 1 y a todoslos que se obtengan al operar
con él como si se tratara de un número más.
Unidad imaginaria: Se llama así al nuevo número − 1 . Y se designa por la letra i
i = − 1 ; i2 = -1 (El nombre i viene de imaginario)
Números complejos: Son las expresiones: a + bi, donde a y b son números reales.
Componentes: La expresión a + bi, se llama forma binómica de un número complejo
porque tiene doscomponentes: a = Parte real; b = Parte imaginaria.
Igualdad: Dos números complejos son iguales sólo cuando tienen la misma
componente real y la misma componente imaginaria.
El conjunto de todos los números complejos se designa por C.
C = {a + bi / a, b ∈ R}
Los números reales son complejos: R ⊂ C: Los reales son números complejos cuya
parte imaginaria es cero: a + 0i = a
Números imaginarios: Sonlos números complejos cuya componente imaginaria no es
cero. Por tanto, un número complejo o es real o es imaginario.
Números imaginarios puros: son los imaginarios cuya parte real es cero: 0 + bi = bi
Opuesto de un número complejo z = a + bi : -z = -a –bi
Conjugado de un número complejo z = a + bi : z = a - bi
REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Las sucesivas categorías de números (naturales, enteros,racionales,...) se pueden
representar sobre la recta. Los reales la llenan por completo, de modo que a cada
número real le corresponde un punto en la recta y cada punto, un número real. Por eso
hablamos de recta real.

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Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano,
pasando así de la rectareal al plano complejo.
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje
real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa mediante el punto
(a,b) que se llama afijo, o mediante un vector de origen (0,0) y extremo (a,b).
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real y los imaginarios puros, sobre
el eje imaginario.RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real
tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados.

6.2 – OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA
BINÓMICA
Las operaciones con los números complejos en forma binómica se realizan siguiendo
las reglas de las operaciones de los números reales yteniendo en cuenta que i2 = -1.
SUMA: La suma de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es
la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.

z + z’ = (a + bi) + (a’ + b’i) = a + bi + a’ + b’i = (a + a’) + (b+b’)i
RESTA: La resta de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real
es la resta de las partes reales y cuyaparte imaginaria es la resta de las partes
imaginarias.

z - z’ = (a + bi) - (a’ + b’i) = a + bi - a’ - b’i = (a - a’) + (b-b’)i
MULTIPLICACIÓN

z.z’ = (a + bi).(a’ + b’i) = a.a’ + a.b’i + ba’i + b.b’i2 = a.a’ + a.b’i + a’.bi – b.b’ =
= (a.a’ - b.b’) + (a.b’ + a’.b)i
Nota: Si multiplicamos un número complejo por su conjugado obtenemos un número
real: z.z = (a + bi).(a – bi) = a2 – (bi)2 =a2 – b2.i2 = a2 + b2
DIVISIÓN: Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador.

z a + bi (a + bi).(a '− b' i) (a.a '+ b.b' ) + (b.a '−a.b' )i a.a '+ b.b' ba '−a.b'
=
=
=
= 2 2 + 2 2i
z' a '+ b' i (a '+ b' i)(a '− b' i)
a ' 2 + b' 2
a ' + b'
a ' + b'
POTENCIAS DE i :

i0 = 1; i = i; i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1; ......
in ⇒ se divide n entre cuatro y nos quedamos con el...