Metodos numericos

M´todos Matem´ticos 2 e a M´todos Num´ricos y Ecuaciones Diferenciales e e Ordinarias
L. A. N´ nez* u˜ Centro de Astrof´sica Te´rica, ı o Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela e y Centro Nacional de C´lculo Cient´ a ıfico Universidad de Los Andes (CeCalCULA), Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida, o o e M´rida 5101, Venezuela e M´rida,Octubre 2003, Versi´n α e o

´ Indice
1. Sistemas Din´micos a 2. Los M´todos y su Clasificaci´n e o 3. El Rebusque de Taylor 4. La idea de la Integraci´n o 5. El M´todo de Euler y el problema de Valores Iniciales e 6. Los M´todos de Runge-Kutta e 7. M´todos Multipaso e 8. Control del Paso
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e-mail: nunez@ula.ve

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1.

Sistemas Din´micos a
Dada una ecuaci´ndiferencial de segundo orden de la forma o d2 x(t) =F dt2 d x(t) , x(t), t dt

siempre se puede convertir en un sistema de dos ecuaciones lineales de primer orden, al extender el espacio de variables de la forma
d x(t) def = dt def

p(t)

x(t) = q(t)

⇒

d2 x(t) =F dt2

d x(t) , x(t), t dt

⇔

d p(t) dt

d q(t) dt

= p(t) = F (p(t), q(t), t)

este sistema puede ser re-arregladoen forma vectorial d q(t) p(t) dt p(t) F (p(t), q(t), t) d Q(t) = F (Q(t),t) dt

=

⇔

As´ dado un conjunto de potenciales el´sticos y las fuerzas que de ellos derivan, ı a   −k x  ←p=1  kx  x          1 2   kx    ←p=2 −kx    2  d V (x) ⇒ Fk (x) = − V (x) = ⇒ Fk (x) =  1 kx3 ← p = 3  dx  3  −kx2       . .   . .   . .       p 1  −k x p−1 k x p elsistema din´mico correspondiente a la ecuaci´n de Newton correspondiente ser´ a o a   x(t)    d p(t) p(t) d Q(t)  = F (Q(t),t) ⇒ = dt dt p−1 1 m [Fext (x(t), t)] − k x(t)

x x


x(t) x(t)

 

2.

Los M´todos y su Clasificaci´n e o

Dada una ecuaci´n diferencial de primer orden, dy(x) = y (x) = f (y(x), x), con yk el valor de la o dx funci´n obtenida con el m´todo, con yk = y(xk), donde xk = x0 + kh y h el paso. Diremos que un o e m´todo es de paso unico si la determinaci´n de yk+1 s´lo involucra un unico valor de yk y m´ ltiple e ´ o o ´ u paso si para calcularlo se utilizan varios valores yk , yk−1 , · · · , yk−p . Por otra parte se denomina un m´todo expl´ e ıcito si para determinar yk+1 se utilizan valores anteriores yk , yk−1 , · · · , yk−p y impl´ ıcito si seutilizan una funci´n del mismo valor yk+1 . As´ o ı yk+1 = yk−1 + 2h f (xk , yk ) 2

representa un m´todo expl´ e ıcito de paso unico mientras que ´ yk+1 = yk + ser´ impl´ a ıcito de m´ ltiples pasos. u h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] 2

3.

El Rebusque de Taylor

Tal y como hemos dicho arriba, dada una ecuaci´n diferencial, su soluci´n a trav´s de un m´todo o o e e de paso unico puede serescrita como ´ y (x) = f (y(x), x) ⇒ yk+1 = yk + ϕ (xk , yk , h) con h = xi+1 − xi ;

Lo primero que se puede hacer es expandir por Taylor alrededor del punto x = xk y(x) = y(xk ) + (x − xk ) y (xk ) + e identificamos y(xk ) → yk y (x) = f (y(x), x) y (xk ) → f (yk , xk ) y (xk ) → f (yk , xk ) = ∂f ∂x
x=xx y=yk

1 1 (x − xk )2 y (xk ) + · · · + (x − xk )n y (n) (xk ) + · · · 2! n!

+

∂f∂y

x=xx y=yk

yk

y (xk ) → f (yk , xk ) = ∂x f + ∂y f yk = ∂xx f + (∂xy f ) yk + ∂yx f + (∂yy f ) yk yk + ∂y f yk . . . por lo que reconstruimos la serie de Taylor hasta el orden que podamos o requiramos yn+1 = yn + h f (yk , xk ) + quedando acotado el error por εred = 1 hn+1 f (n) (y(ξ), x(ξ)) (n + 1)! 1 1 n (n−1) 1 2 h f (yk , xk ) + h3 f (yk , xk ) + · · · + h f (yk , xk ) + · · · 2!3! n!

4.

La idea de la Integraci´n o

La idea de integrar una ecuaci´n diferencial ordinaria puede ilustrarse, formalmente de la siguiente o forma xk+1 dξ f (ξ, y(ξ)) y (x) = f (y(x), x) ⇒ yk+1 = yk +
xk

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entonces el metodo se centra en como se aproxima la funci´n dentro de la integral o Euler f (xk , yk ) Euler Mejorado o Heuns 1 2 [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] Se aproxima...