Matrices

Tema 1: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
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Matrices

Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K = R) consiste en una colección de números (o
escalares) del cuerpo K ordenados por filas y columnas. Si la matriz tiene m filas y n columnas se dirá que es de orden
m × n.
Ejemplo 1.1 Las siguientes son matrices con coeficientes sobre R:

A=

Ã

0 −1 3
3 0.56

⎛ √
5
⎜ 0
⎜
C=⎜
⎝ −2
5
E=

Ã

!

de orden 2 × 3

B=

⎞
3 −3
0
0 ⎟
⎟
⎟ de orden 4 × 3
8
8 ⎠
7
0
2
1
0 −3

!

³

3 7

´

de orden 1 × 2

⎞
0
⎜ ⎟
D = ⎝ 2 ⎠ de orden 3 × 1
8
⎛

⎞
3
0 0
⎟
⎜
F = ⎝ 5 −4 0 ⎠ de orden 3 × 3
1 −8 0
⎛

de orden 2 × 2

Sea A una matriz. Para indicar la fila y columna que ocupa cada elemento usaremos la notación A = (aij ), donde
el índice i indica la fila y el índice jla columna. De este modo estamos diciendo que el elemento aij de la matriz A es
el que ocupa la fila i y la columna j, considerando esto para todos los posibles i y j. Así los elementos de la matriz
A = (aij ) del ejemplo anterior son:
a11 = 0

a12 = −1

a13 = 3

a21 = 3

a22 = 0.5

a23 = 6

Recordemos que Rn está formado por todos los vectores de n coordenadas, todas ellas números reales.Similarmente
ocurre con K n tomando esta vez escalares del cuerpo K en vez de números de R.
Para una matriz A de orden m × n denotaremos por Fi la fila i-ésima de la matriz, la cual puede interpretarse
como un vector de K n al que llamaremos vector-fila de A; igualmente denotaremos por Cj a la columna j-ésima de
la matriz, que puede interpretarse como un vector de K m al que llamaremos vector-columna deA.
Una submatriz de otra es una matriz que se obtiene a partir de la inicial cogiendo unas cuantas filas y unas
cuantas columnas.
Se dice que una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas (como la matriz E del
ejemplo anterior). En esta situación si la matriz tiene n filas y n columnas, podremos decir que es de orden n × n ó
simplemente de orden n. Se llama diagonalprincipal de una matriz (generalmente cuadrada) a los elementos de la
forma aii para todo i posible, es decir, los elementos que tienen el mismo índice fila que columna (la diagonal principal
de la matriz E del ejemplo anterior está formada por el a11 = 2 y el a22 = 0). Una matriz cuadrada se dice que
es triangular inferior (respectivamente triangular superior) cuando todo elemento que esté situadopor encima
(respectivamente por debajo) de la diagonal principal es nulo (la matriz E del ejemplo anterior es triangular superior,
mientras que la matriz F es triangular inferior). A una matriz cuadrada que es triangular tanto inferior como superior,
es decir, si cumple que los elementos que no están en la diagonal principal son nulos, se le llama matriz diagonal.
La matriz diagonal de orden nque tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1 se llama matriz
identidad (o matriz unidad) de orden n, y la denotaremos por In , o simplemente por I si está claro el tamaño. La
matriz nula es la matriz que tiene todos sus coeficientes son nulos. La matriz opuesta de una matriz A se denota

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por −A y consiste en cambiar de signo todos sus coeficientes. Veamos algunosejemplos:
⎞
⎛
⎞
5
7 −3
5 −3
⎜ 6 −5
0 ⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
5 ⎠ es submatriz de ⎜
⎟ al coger las filas 1, 3 y 4 y las columnas 1 y 3
⎝ −3
⎝ −3
8
5 ⎠
−5
7
−5
0
7
⎛

Ã

−3 0
0 4

!

Ã

es una matriz diagonal
Ã

0 0 0
0 0 0

!

es la matriz identidad de orden 2

es la matriz nula de orden 2 × 3

La opuesta de la matriz

1.1

!

1 0
0 1

Ã

0 4 −3
−1 2
0

!

es

Ã

0 −4 3
1 −2 0

!

Operaciones con matrices

Fijados m yn, al conjunto de las matrices de orden m × n con coeficientes sobre un cuerpo K lo denotaremos por
Mm×n (K).
1.1.1

Suma

Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices del mismo orden (m × n). Se define la suma de las dos matrices como la
matriz A + B = (cij ), también de orden m × n, que cumple que
cij = aij + bij
para cada par de índices i, j. Esto se traduce en que sumamos A y B coeficiente a...