Lugares geometricos

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO

Definición:
Supongamos un punto móvil P, que se desplaza en un plano a una distancia constante de un punto fijo O del mismo plano. Sabemos que ese punto recorrerá una circunferencia de centro O y de radio la distancia constante r. El conjunto de puntos de la circunferencia y solamente ellos, constituye el lugar geométrico del punto P.
Un Lugar Geométrico esentonces, una figura cuyos puntos gozan de una cierta propiedad que no poseen los puntos que no pertenecen a la figura.

Lugares Geométricos Fundamentales.

A) El lugar geométrico de los puntos del plano que distan una longitud dada r de un punto fijo O es la circunferencia de centro O y radio r.

B) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos A y B fijos,es la mediatriz del segmento AB.

C) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo convexo (xOy) es la bisectriz de dicho ángulo.

D) El lugar geométrico de los puntos del plano que distan una longitud dada d de una recta fija res el conjunto de dos paralelas a r trazadas a la distancia d de esta recta.

E) El lugar geométrico de los puntos delplano que equidistan de dos recta secantes, es el conjunto formado por dos rectas perpendiculares entre si, que contienen a las bisectrices de los cuatro ángulos que las rectas determinan.

F) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas es la paralela media.

G) El lugar geométrico de los puntos del plano que miran un segmento AB bajo un ángulo dadode amplitud , está formado por dos arcos de circunferencia de cuerda AB y se llaman arcos capaces sobre AB de ángulo .
Observación: En caso que = 90°, los arcos resultan ser dos semicircunferencias de diámetro AB, es decir una circunferencia de diámetro AB. (Lugar geométrico de Thales).

Ejemplos de problemas relacionados con lugares geométricos.

1) Construye una circunferenciatangente a dos rectas coplanarias conociendo el punto de tangencia con una de ellas. Discute según la posición de las rectas.
2) Construye una circunferencia que pase por dos puntos A y B dados y cuyo centro diste una longitud d dada de un punto fijo P.
3) Dados tres puntos alineados A, B y C (en ese orden) encuentra un punto P tal que: <APB=45° y <BPC=60°.
4) Encuentra un punto queequidiste de las rectas a , b y c. a c


b

5) Sean A y B dos puntos fijos, distintos. Determina el lugar geométrico de los simétricos de B respecto de una recta variable r que pasa por A.
6) Sea C una circunferencia de diámetro AB. Para todo punto M de C , sea M´ el punto medio de AM.
Determina el lugar geométrico de los puntos M´ cuando M variaen C.

En el listado anterior, tenemos ejercicios donde utilizamos los lugares geométricos fundamentales para efectuar construcciones, pero también tenemos ejercicios donde se nos plantea el problema de determinar el lugar geométrico al que pertenece un determinado punto.
Dicho lugar geométrico debemos identificarlo nosotros y luego justificarlo y construirlo.
A continuación damos una idea decomo efectuar este proceso.

Estudio de un Lugar Geométrico.

1) Búsqueda y Demostración.
Es útil tener una idea de la naturaleza del lugar. Para ello podemos construir varias posiciones. En caso que:
a) los puntos obtenidos estan alineados, podemos intuir que el lugar es una recta o un conjunto de puntos incluidos en ella. Trataremos de probarlo.
b) Los puntos obtenidosno estan alineados,. Como la circunferencia es la única curva estudiada por el momento, podemos intuir que el lugar se trata de una circunferencia o un arco de circunferencia. Luego se tratará de probar.

Veamos un ejemplo:
Sean A y B dos puntos fijos de una recta r. Se traza una circunferencia variable C , tangente en B a r y desde A se traza la segunda tangente AM a la circunferencia, siendo...