Interpolacion De Lagrange

Polinomio de LaGrange.
Este polinomio es útil únicamente sobre intervalos pequeños para funciones cuyas derivadas existen y pueden evaluarse fácilmente. En esta sección construiremos polinomios de aproximación que pueden determinarse simplemente especificando ciertos puntos del plano por los que su grafica debe pasar.
Determinar un polinomio de primer grado que pase por dos puntos distintos(x0, y0) y (x1, y1) es lo mismo que aproximar una función f para la cual f(x0) = y0 y f(x1) = y1 por medio de un polinomio de primer grado que interpola, o que coincide con, los valores de f en los puntos dados. Empezamos definiendo las funciones:
L0(x) = x-x1x0-x1 y L1(x) = x-x0x1-x0
Y haciendo notar que estas definiciones implican que:
L0(X0) = x0-x1x0-x1 = 1, L0(X1) = x1-x1x0-x1 =0, L1(X0) = 0, y L1(X1) = 1
Entonces definimos:
P(x) = L0(x) f(x0) + L1(x) f(x1) = x-x1x0-x1 f(x0) + x-x0x1-x0 f(x1)
Con lo cual:
P(x0) = 1 * f(x0) + 0* f(x1) = f(x0) = y0
Y
P(x1) = 0 * f(x0) + 1* f(x1) = f(x1) = y1

Es decir, P es la única función lineal que pasa por (x0, y0) y (x1, y1).
Para generalizar el concepto de interpolación lineal a polinomios de mayor grado, vamos aconsiderar la construcción de un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los puntos n + 1 puntos.
(x0, f(x0)), (x1, f(x1)),…, (xn, f(xn))

En este caso, necesitamos construir, para cada k=0, 1,. . ., n un polinomio de grado n, que denotaremos por Ln,k(x), con la propiedad de que Ln,k(xi) =0 para i ≠ k y Ln.k(xk)=1.

Para que se cumpla Ln.k(xi)=0 si i ≠k, el numerador de Ln.k(x) debecontener el producto
(x – x0)(x – x1)…(x – xk-1)(x – xk+1)…(x – xn)
Para que se cumpla Ln.k(xk)= 1 , el denominador de Ln.k(x) debe ser dicho producto evaluado en x=xk Es decir,
Ln.k(x) = x-x0 … x-xk-1 x-xk+1 …(x-xn )xk-x0… xk-xk-1xk-xk+1…(xk-xn)
Ln.k se llama k-ésimo coeficiente polinomial de grado n de LaGrange; Ln.k(xi).(dibujo)
El polinomio de interpolación se describe fácilmente ahoraque ya conocemos la forma de Ln.k(xi). este polinomio recibe el nombre de n-ésimo polinomio interpolador de LaGrange de f.
n-ésimo polinomio interpolador de LaGrange.
Pnx= fx0Ln,0x+…+fxnLn,nx= k=0nf(xk)Ln,k(x)
Siendo
Ln.k(x) = x-x0 … x-xk-1 x-xk+1 …(x-xn )xk-x0… xk-xk-1xk-xk+1…(xk-xn)
Para cada k = 0, 1,. . ., n.
Si x0,x1,…,xn son (n + 1) puntos distintos y f es una función cuyos valoresse dan en estos puntos, entonces Pn(x) es el único polinomio de grado menor o igual que n que coincide con f (x) en dichos puntos x0,x1,…,xn. La notación para describir el polinomio interpolador de LaGrange Pn(x) es la suma de los n + 1 polinomios f(xk), Ln.k(x), para k= 0, 1,…, n, cada uno de los cuales es de grado n suponiendo que f(xk)≠ 0. Para reducir la complicación notacional, escribiremosLn.k(x) simplemente como Lk(x)cuando no haya confusión sobre el hecho de que su grado es n.
Formula del error del polinomio de LaGrange.
f(x)= Pn(x) + fn+1(ξx)n+1! x- x0x- x1…(x- xn)
para algún numero (desconocido) (x) que esta en el intervalo mas pequeño que contiene todos los puntos x0, x1, … xn y x.
Esta formula del error es un importante resultado teórico, por que los polinomios deLaGrange se usan ampliamente en la construcción de métodos numéricos de derivación e integración y las cotas de los errores de estas técnicas se obtienen a partir de la formula del error del polinomio de LaGrange. El uso especifico de esta formula del error se restringe, sin embargo, a aquellas funciones para cuyas derivadas dispongamos de cotas conocidas. El siguiente ejemplo ilustra las técnicas deinterpolación en una situación en la que la formula del error del polinomio de LaGrange no puede usarse.
Generación recursiva de los polinomios de LaGrange.
Sea f una función definida en un intervalo que contiene los puntos x1, x2,…,xn y sean xj y xi dos de estos puntos. Si
P(x) = x- xjP0,1,…,j-1, j+1,…,kx- (x- xi)P0,1,…,i-1,i+1,…,k(x)(xi- xj)
Entonces P(x) es el k-ésimo polinomio de...