Interpolación polinómica de Lagrange
Páginas: 4 (762 palabras)
Publicado: 14 de junio de 2013
Interpolación polinómica de Lagrange
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado enla forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto depuntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
Definición
Dado un conjuntode k + 1 puntos
Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal
De bases polinómicas de Lagrange
Demostración
Lafunción que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con
El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otropolinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.
Concepto
La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en elcual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base deLagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.
Ejemplo
La función tangente y su interpolador.
Se desea interpolar en los puntosCon cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La basepolinómica es:
Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:
Desventajas de su uso
Si se...
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado enla forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto depuntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
Definición
Dado un conjuntode k + 1 puntos
Donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal
De bases polinómicas de Lagrange
Demostración
Lafunción que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con
El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otropolinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.
Concepto
La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en elcual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base deLagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.
Ejemplo
La función tangente y su interpolador.
Se desea interpolar en los puntosCon cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La basepolinómica es:
Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:
Desventajas de su uso
Si se...
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