geometria analitica

Geometría Analítica en R3

MOISES VILLENA

2
2.1
2.2
2.3
2.4

RECTAS EN R
PLANOS
POSICIONES RELATIVAS
SUPERFICIES
3

2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS
2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
2.4.3 CUADRICAS

2.5 COORDENADAS CILÍNDRICA.
2.6 COORDENADAS ESFÉRICAS.
Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Encuentre ecuaciones de Rectas y Planos.
• Grafique Rectas y Planos.
•Encuentre distancias.
• Grafique Superficies Cilíndricas, de Revolución
y Cuádricas.

13

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2.1 RECTAS EN R

3

2.1.1 DEFINICIÓN
→

3

3

Sea P0 un punto de R y sea S un vector de R . Una
3

Recta l se define como el conjunto de puntos P de R que
→

⎯→
⎯

contiene a P0 y tal que los vectores V = P0 P son paralelos
→

a S.
Esdecir:
→
→
→
⎯
⎯→
⎫
⎧
l = ⎨ P( x, y, z ) / P0 ∈ l y S // V donde V = P0 P ⎬
⎭
⎩
→

Al Vector S se lo llama VECTOR DIRECTRIZ de la recta.
2.1.2 ECUACIÓN
→

Sea P0 ( x0 , y0 , z 0 ) y sea el vector S = (a, b, c ) .
z

l

P ( x, y , z )
•

→

S = (a, b, c )

→

V
•
P 0 (x0 , y 0 , z 0 )

y

x
→

→

El vector S es paralelo al vector
entonces:
→

→

V = P0P = ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 ) ,

→

V =kS
Reemplazando resulta:

(x − x , y − y , z − z ) = k (a, b, c )
0

0

0

Por igualdad de vectores, se plantea lo siguiente:

14

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⎧( x − x0 ) = ka
⎪
⎨( y − y0 ) = kb
⎪( z − z ) = kc
0
⎩
Entonces tenemos:

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
a
b
c

Ecuación de la recta definida
porun punto P0 (x 0 , y 0 , z 0 ) y
→

un vector paralelo S = (a, b, c )

En ocasiones anteriores ya se ha mencionado que dos puntos definen
una recta, observe la figura:
z

l
• P (x , y , z )
2
2
2
2

→

V

P ( x, y , z )
•
→

S

•
P 1 ( x1 , y1 , z1 )

y

x

Ahora tenemos que, P0 = P ( x1 , y1 , z1 ) y el vector directriz sería:
1

⎛
⎞
⎜ x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2− z1 ⎟ ,
S = P1 P2 =
2
2
⎜ 1 3 123 1 3 ⎟
⎝a
⎠
b
c
→

→

Entonces, se tiene:

x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

Ecuación de la recta definida
por dos puntos

También se la llama ECUACIÓN CANÓNICA O ECUACIÓN SIMÉTRICA.

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Si consideramos:

x − x0 y − y 0 z − z 0
=t
=
=
a
b
c

Tenemos:

⎧ x =x0 + at
⎪
⎨ y = y 0 + bt
⎪ z = z + ct
0
⎩
De lo anterior:

Ecuaciones Parámetricas

(x, y, z ) = (x + at , y + bt , z + ct )
(x, y, z ) = (x424 ) + t (a,2,3)
, y ,z
bc
1
31
0

0

0

0

0

0

⎯
⎯→

⎯
⎯→

V

S

0

Se puede expresar de la siguiente manera:
→

→

→

V = V0 + t S

Ecuación Vectorial

Ejemplo
Hallar las Ecuaciones paramétricas de larecta que contiene al punto P(1,−1 − 1) y
→

es paralela al vector S = (1,0,2) .
SOLUCIÓN:
De a cuerdo a lo definido:
⎧ x = x 0 + at = 1 + t
⎪
⎨ y = y 0 + bt = −1
⎪ z = z + ct = 1 + 2t
0
⎩

Ejercicios Propuestos. 2.1
1.

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 3)
Grafíquela

y

(1, 2, -1).

⎧x = 1 + t
⎪
Resp. l : ⎨ y = 2 − t
⎪ z = −1 − 4t⎩
2.

(2,1, 5).

3.

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2) y
Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación del eje y?

(2,5, 2).

4.

16

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 0) y
Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación del eje z?

Escriba ecuaciones paramétricasde rectas paralelas al eje x.

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5.

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 3, 5)
Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir?

y

(2,2, 0).

6.

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (0, 2, 2)
Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir?

y

(2,2, 0).

7.

Halle ecuaciones...