Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales
1.- Determinar el valor de x para que el vector (1; x; 5) ∈ R3 pertenezca al subespecie < (1; 2; 3); (1;1; 1) >.

Solución. (1; x; 5) pertenece al subespecie < (1; 2; 3); (1; 1; 1) > si y solo si (1; x; 5) es combinación
lineal de (1; 2; 3) y (1; 1; 1), o sea, si existen _; _ ∈ R tales que
(1; x; 5) = _(1; 2; 3) + _(1; 1; 1);
Pero entonces,
1 = _ + _
x = 2_ + _
5 =3_ + _
y resolviendo el sistema anterior, tenemos _ = 2; _ = −1 y x = 3.

2.- Calcular bases de los subespecies de R4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0}
y T =< (1; 1; 2; 1); (2; 3;−1; 1) >.
Solución. Tenemos
S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1; x1; x3; x4)|x1; x2; x3 ∈ R} =< (1; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1) >;
Luego un sistema generador de S es {(1;1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)}. Ahora,
(0; 0; 0; 0) = _(1; 1; 0; 0) + _(0; 0; 1; 0) + (0; 0; 0; 1) ⇒ _ = _ = = 0;
O sea que es libre, resulta que BS = {(1; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)} es una base de S.
Un sistema generador de T es (1; 1; 2; 1); (2; 3;−1; 1). Pero es también libre, ya que
(0; 0; 0; 0) = _(1; 1; 2; 1) + _(2; 3;−1; 1) →
0 = _ + 2_
0 = _ + 3_
0 = 2_ − _
0 =_ + _

3.- Encontrar una base y la dimensión del subespecie vectorial S =< (1; 2;−1; 3); (2; 1; 0;−2); (0; 1; 2; 1); (3; 4; 1; 2) > :
Solución. Un sistema generador de S es A = {(1; 2;−1; 3); (2; 1; 0;−2); (0; 1; 2; 1); (3; 4; 1; 2)}. Pero A
no es libre ya que
(0; 0; 0; 0) = _1(1; 2;−1; 3) + _2(2; 1; 0;−2) + _3(0; 1; 2; 1) + _4(3; 4; 1; 2) ⇒


0 = _1 + 2_2 + 3_3 + 3_4
0 = 2_1 + _2 +_3 + 4_4
0 = −_1 + 2_3 + _4
0 = 3_2 − 2_2 + _3 + 2_4
y el sistema anterior tiene por solución
_1 = _2 = _3 = −_4
Observamos que (3; 4; 1; 2) es combinación lineal de los anteriores, luego A − {(3; 4; 1; 2)} =
{(1; 2;−1; 3); (2; 1; 0;−2); (0; 1; 2; 1)} es también sistema generador de S. Pero
(0; 0; 0; 0) = _1(1; 2;−1; 3) + _2(2; 1; 0;−2) + _3(0; 1; 2; 1) ⇒


0 = _1 + 2_2 + 3_3
0 =2_1 + _2 + _3
0 = −_1 + 2_3
0 = 3_2 − 2_2 + _3
y el sistema anterior solo tiene por solución a _1 = _2 = _3 = 0, es decir, {(1; 2;−1; 3); (2; 1; 0;−2); (0; 1; 2; 1)}
es libre. Por consiguiente una base de S es {(1; 2;−1; 3); (2; 1; 0;−2); (0; 1; 2; 1)} y la dimensión de S es 3.

4.- Sea V un Q-espacio vectorial de dimensión 4 con base B = {u1; u2; u3; u4}. Se dañen los vectores
v1 = 2u1 + u2− u3 v2 = 2u1 + u3 + 2u4 v3 = u1 + u2 − u3 v4 = −u1 + 2u3 + 3u4
Probar que B
= {v1; v2; v3; v4} es una base de V y calcular las coordenadas en la base B
de un vector v que tiene por coordenadas en B a (1 2 0 1).
Solución. Como B
′
es de cardinal 4 y V es de dimensión 4, para demostrar que B
′
es base de V , basta
con probar que B
′
es libre. Ahora,
0V =
Σ4
i=1
_ivi = (2_1 + 2_2 +_3 − _4)u1 + (_1 + _3)u2 + (−_1 + _2 − _3 + 2_4)u3 + (2_2 + 3_4)u4;
y al ser {u1; u2; u3; u4} un conjunto libre, se tiene que
0 = 2_1 + 2_2 + _3 − _4
0 = _1 + _3
0 = −_1 + _2 − _3 + 2_4
0 = 2_2 + 3_4

y la _única solución del sistema anterior es _1 = _2 = _3 = _4 = 0; luego B
es libre.
Por otro lado, si v tiene por coordenadas a (1 2 0 1) (esto es utilizamos la notación por _las) en labase
B, significa que v = u1 + 2u2 + u4, así que las coordenadas de v (_1 _2 _3 _4) en la base B
′
Deben cumplir
v = u1+2u2+u4 =
Σ4
i=1
_ivi = (2_1+2_2+_3−_4)u1+(_1+_3)u2+(−_1+_2−_3+2_4)u3+(2_2+3_4)u4;
o sea,
1 = 2_1 + 2_2 + _3 − _4
2 = _1 + _3
0 = −_1 + _2 − _3 + 2_4
1 = 2_2 + 3_4
y su solución es
_1 = 10; _2 = −4; _3 = −8; _4 = 3:
Por consiguiente las coordenadas del vector v en labase B
′
son (10 − 4 − 8 3).

5. Demostrar que R4 = U ⊕ V ⊕W.
2. Descomponer el vector (1; 2; 3; 4) en la forma u + v + w ∈ U + V +W.
Solución. 1. Para ver que R4 = U ⊕ V ⊕ W, debemos comprobar que R4 = U + V + W y que
U ∩ (V +W) = V ∩ (U +W) = W ∩ (U +V ) = {(0; 0; 0; 0)}. Esto equivale a demostrar que BU ∪BV ∪BW
es una base de R4. Ahora, U = {(1; 1; 0; 1)}, BV = {(1; 1; 1; 0)} y BW =...