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Cómo encontrar la inversa de una función cuadrática
Creado por Rosy Guerra
El cálculo de la inversa de una función linear es fácil: solamente realice una X en el sujeto de la ecuación; y remplace Y con X en la expresión resultante. Encontrar la inversa de una función cuadrática es considerablemente más complicado, principalmente porque las funciones cuadráticas no se encuentran en función unoa uno, a menos que esté restringido por un dominio adecuado.
Pasos
1.
Ejecuta Y o F(x) como el sujeto de la fórmula, en caso que no lo sea: durante la manipulación algebraica, asegúratee de no cambiar la función de modo alguno; y realiza la misma operación en ambos lados de la ecuación.
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2.
Reformula la función para que la forma sea y=a(x-h)2+k. Esto no es solamente esencial paraencontrar la inversa de la función, sino también para determinar si la función tiene un inverso. Puedes realizar esta operación mediante dos métodos:
Completa el cuadrado
Toma el común denominador del valor a de toda la ecuación (el coeficiente de X2). Para realizar esta operación deberás escribir el valor de a, abrir paréntesis, y escribir toda la ecuación; posteriormente, dividir cada términopor el valor de a; tal como se muestra en el diagrama de la derecha. Deja la parte izquierda de la ecuación intacta, puesto que no se ha producido ningún cambio en el lado derecho.
Completa el cuadro. El coeficiente de x es (b/a). Divídalo para obtener (b/2a), y elévalo al cuadrado para obtener (b/2a)2. Súmalo y réstalo de la ecuación. Esto no tendrá ningún efecto en la ecuación. Si observasdetenidamente, podrás visualizar que los tres primeros términos dentro del paréntesis se encuentran en la forma de a2+2ab+b2, donde a es x y b es (b/2a). Por supuesto que estos dos valores serán numéricos, en lugar de algebraicos para una ecuación real. Esto es un cuadrado completo.
Debido a que ahora los tres primeros términos son un cuadrado perfecto, puedes escribirlos en la forma (a-b)2 o(a+b)2. El signo entre ambos términos será el mismo del coeficiente x en la ecuación.
Toma el término que no se encuentra en el cuadrado perfecto, fuera del paréntesis. Esto formulará la ecuación y=a(x-h)2+k, tal como está previsto.
Compara coeficientes
Formula una igualdad en x. En el lado izquierdo, coloque la función expresada en términos de x; y a la derecha coloca la función en la forma quedesees; en este caso a(x-h)2+k. Esto te permitirá encontrar los valores de a, h y k que son precisos para todos los valores de x.
Abre y expande el paréntesis en el lado derecho de la igualdad. No debemos tocar el lado izquierdo de la ecuación, y podemos omitirlo de nuestra operación. Fíjate que toda la operación en el lado derecho es algebráico tal como se indica y no numérico.
Identifica loscoeficientes de cada potencia de x. Posteriormente agrúpalos y colócalos en paréntesis; tal como se indica a la derecha.
Compara los coeficientes de cada potencia de x. El coeficiente de X2 en el lado derecho deberá ser igual al izquierdo. Esto da el valor de a. También el coeficiente de x en el lado derecho debe ser igual al izquierdo. Esto nos lleva a la formación de una ecuación en a y h; quepuede ser solucionada sustituyendo el valor de a; el cual ya fue encontrado. Asimismo, el coeficiente de x0, o 1, en el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho. Mediante la comparación de los productos de una ecuación podremos obtener el valor de k.
Podemos escribir la ecuación en la forma deseada a través del uso de los valores de a, h y k.

Asegúrate que el valor de h se encuentre, yasea en el límite del dominio, o fuera de este. El valor de h brinda la coordenada x del punto de inflexión de la ecuación. Un punto de inflexión dentro del dominio significará que la función no es uno a uno, por tanto no tiene un inverso. Fíjate que la ecuación es a(x-h)2+k. Por consiguiente, si tenemos (x+3) dentro del paréntesis, el valor de H serán -3.

Haz que (x-h)2 sea el sujeto de tu...