Ecuaciones diferenciales tips

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METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
• ECUACIONES EXPL´
ICITAS DE PRIMER ORDEN.
Es decir, de la forma
y ′ = f (x, y).
1. Variables separadas.
Son de la forma
g(x) = h(y)y ′ .
dy
Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra.

2. Ecuaci´n de la forma y ′ = f (ax + by).
o
El cambio de funci´n y(x) por z(x) dado por z= ax + by la transforma en una de
o
variables separadas.
3. Homog´neas.
e
Son de la forma

y
.
x
Se hace el cambio de funci´n y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´ndose as´ la E. D.
o
a
ı
en una de variables separadas.
y′ = f

3′ . Reducibles a homog´neas.
e
Son de la forma
y′ = f

a1 x + b1 y + c1
ax + by + c

.

3′ .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y +c1 = 0 se cortan en (x0 , y0 ), se hace
el cambio de variable y de funci´n X = x − x0 , Y = y − y0 . La ecuaci´n se reduce a una
o
o
homog´nea.
e
′
3 .2. Si ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio
de funci´n z = ax + by. La nueva ecuaci´n que aparece es de variables separadas.
o
o
3′′ . Homog´neas impl´
e
ıcitas.
Son de la forma

y ′
, y = 0.x
Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´n param´trica
o
e
α = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´n y por t mediante
o
y
= ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´n en
ı,
o
x
variables separadas.
F

3′′′ . Si la ecuaci´n y ′ = f (x, y)
o
es tal que, para alg´n α = 0 fijo, f satisface
u
f(λx, λα y) = λα−1 f (x, y),
entonces el cambio de funci´n y = z α transforma la ecuaci´n en una homog´nea. (Si α = 1,
o
o
e
la E. D. ya es homog´nea; y si f cumple la relaci´n anterior con α = 0, la E. D. es de
e
o
variables separadas.)
1

4. Ecuaciones exactas.
Son las de la forma
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
P (x,y)
dy
es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumplen Py = Qx . Sebusca una funci´n F (x, y) tal que
o
dF = ω = P dx + Q dy, y la soluci´n de la E. D. es F (x, y) = C (siendo C constante).
o

4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes.
Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar encontrar µ(x, y) tal
que
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
sea exacta.
4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre cuandotom´ndose µ(x) = exp( h(x) dx).
a
4′ .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Ocurre cuando
tom´ndose µ(y) = exp( h(y) dy).
a
4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y).

Py −Qx
Q

= h(x),

Qx −Py
P

= h(y),

5. Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
y ′ + a(x)y = b(x).
Hay tres m´todos de resoluci´n: (i) Encontrar un factor integrante de laforma µ(x).
e
o
(ii) Resolver la ecuaci´n lineal homog´nea asociada y ′ + a(x)y = 0 (que es de variables
o
e
separadas), cuya soluci´n es y = C exp(− a(x) dx), y usar el m´todo de variaci´n de
o
e
o
las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresi´n anterior y sustituir en la
o
ecuaci´n lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluci´n particular yp (x), con lo cual
o
ola soluci´n general de la lineal es yp m´s la soluci´n general de la homog´nea asociada.
o
a
o
e
(iv) Descomponer y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de u,
resolviendo la ecuaci´n que aparece (v ′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas); tras
o
esto, queda una ecuaci´n en u(x) de variables separadas.
o
De cualquier modo se obtiene que la soluci´ngeneral de la E. D. lineal es
o
y = exp −

a(x) dx

b(x) exp

a(x) dx

dx + C .

5′ . Ecuaci´n de Bernoulli.
o
Es de la forma
y ′ + a(x)y + b(x)y α = 0.
Si α = 0 es lineal, y si α = 1, de variables separadas. En otro caso, se hace el cambio de
funci´n y 1−α = z, con lo que la E. D. de Bernoulli se transforma en una lineal. Un segundo
o
m´todo de resoluci´n es el siguiente: se...