Ecuaciones Diferenciales

´ LECCION 1: Introducci´n a las Ecuaciones Diferenciales o Problema 1 .- Considera el siguiente modelo de memorizaci´n de un poema por dos o estudientes: Julen y Berta. Si L(t) representa la porci´nde poema aprendida despu´s de o e t minutos, donde L = 0 corresponde a no saber nada del poema y L = 1 a saberlo entero, la tasa de memorizaci´n de Julen es proporcional a la cantidad que le queda poraprender, o con una constante de proporcionalidad igual a 2. Y la tasa de Berta es proporcional al cuadrado de lo que le queda por aprender con una constante de proporcionalidad igual a 3. Es decir,las ecuaciones que modelan el proceso de memorizaci´n de Julen y Berta son: o dLJ = 2(1 − LJ ) y dt dLB = 3(1 − LB )2 dt

donde LJ (t) y LB (t) son las porciones del poema memorizadas por Julen yBerta, respectivamente, en el tiempo t. (a) ¿ Qu´ estudiante tiene una tasa m´s r´pida de aprendizaje en t = 0 si ambos e a a empiezan la memorizaci´n juntos y no han visto antes el poema?. o (b) ¿ Qu´estudiante tiene una tasa m´s r´pida de aprendizaje en t = 0 si ambos e a a empiezan la memorizaci´n juntos habiendo aprendido ya la mitad del poema?. o (c) ¿ Qu´ estudiante tiene una tasa m´s r´pidade aprendizaje en t = 0 si ambos e a a empiezan la memorizaci´n juntos habiendo aprendido ya un tercio del poema?. o (d) Haz un bosquejo de las funci´n LJ (t) y LB (t) en cada uno de los tres casos. oEl objetivo del siguiente ejercicio es trabajar las soluciones de la ecuaci´n diferencial o que aparece en la secci´n sobre flujo calor´ o ıfico radial de los apuntes (ver Secci´n 1.1.2 de o la Lecci´n1). Conviene que repases dicha secci´n antes de hacerlo. o o Problema 2 .- Considera la ecuaci´n diferencial que modeliza la temperatura en cada o punto del material aislante que rodea a una tuber´cil´ ıa ındrica de longutud L por la que circula gas a una cierta temperatura: dT H 1 =− dr 2πkL r donde H y k son, respectivamente, el flujo de calor radial y la conductividad t´rmica del e material...