desarrollo analitico y numerrico de ecuaciones diferenciales

DESARROLLO ANALÍTICO Y NUMÉRICO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
1° Desarrollar la ecuación diferencial

= -9.8

, para y(0) = 0,

= 20

Desarrollo analítico.
La ecuación diferencial de segundo orden se puede convertir en dos ecuaciones diferenciales de
primer orden.
Hacemos Z =

, entonces:

=

Remplazando la nueva variable en la ecuación diferencial de 2doorden, tendremos:
= - 9.8
Desarrollando la ecuación diferencial, quedará: Z = - 9.8 t + ko =
= 20,

Remplazando la condición inicial,

20 = -9.8 (0) + Ko , luego Ko = 20, y la ecuación

para la primera derivada quedará: Z = - 9.8 t + 20 =

o

= - 9.8 t + 20 (

)

La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer orden, por lo tanto, procedemos a
desarrollarla.
= - 9.8 t + 20, separando variables: dy = (-9.8 t + 20) dt
Integrando la ecuación: y = -9.8(

) + 20 t + Ko = - 4.9 t2 + 20 t + Ko

Remplazando la condición inicial y(0) = 0 , 0 = - 4.9 (0)2 + 20 (0) + Ko , luego, Ko = 0
La solución quedará:

y(t) = - 4.9 t2 + 20 t cmt.

Valores de prueba:
Para t = 2 seg

= -9.8

,

= 0.4

Para t = 4 seg

= -9.8

,

=

-19.2

,

y(2) = 20.4 cmt,

y(2) = 1.6 cmt

Página 1 de 18 29/04/2014 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

Desarrollo numérico.
Programa en Matlab sobre la ecuación diferencial de segundo orden
(romarquez)
= -9.8

, para y(0) = 0,

= 20

%Ejemplo.m soluciona la ecuac dif, d2y/dt2 = -9.8,
%para y(0)=0,y´(0)= 20
% Notaciones: dy(2)=d2y/dt2 , y(2)= y´ , dy(1)= dy/dt , y(1)= y
functionDavila
tspan = [0:0.001:5];%Vector de la variable independiente
y0 = [0, 20]; %Condiciones iniciales
[T,Y] = ode45(@luis,[0:0.001: 5],[0 20]);%esta sentencia se puede
cambiar
% por ¨ode45(@luis,tspan,y0)
[T,Y]% imprime los valores
Z = [T./T]-10.8;
figure(4),plot(T,Z,'r'),grid on,title('Aceleración d2y/dt2') , pause
figure(1),plot(T,Y(:,2),'-'),title('Velocidad dy/dt'),xlabel('Tiempo t'),ylabel('dy/dt'),grid on, pause;
figure(2),plot(T,Y(:,1),'-'),title('Posición y')
xlabel('Tiempo t'),ylabel('Función y '),grid on,pause;
figure(3),plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'r'), grid on %Gráfica de y y y´
% El signo - y la r ,para que queden de distinto color
title('Velocidad y posición'); %Título del gráfico
legend('y' , 'dy/dt');%Leyenda del gráfico
xlabel('Tiempo t');%Nombre del eje xylabel('y y dy/dt');%Nombre del eje y
hold on
function dy = luis(t,y)%Función que depende de y , t
dy = zeros(2,1); %Vector columna con el número de ecuaciones a resolver
dy(1) = y(2); % Ecuación donde decimos que y(2)es la derivada de y(1)
dy(2) = -9.8;%Ecuación diferencial a resolver

Algunos resultados del proceso numérico:
Tiempo

Función

2.0000

20.4000

0.4000

y´-9.8000

y´´

4.0000

1.6000

-19.2000

-9.8000

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Aceleración d2y/dt2
-8.8
-9
-9.2
-9.4
-9.6
-9.8
-10
-10.2
-10.4
-10.6
-10.8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

3.5

4

4.5

5

Velocidad dy/dt
20
15
10
5

dy/dt

0
-5
-10
-15
-20
-25
-300

0.5

1

1.5

2

2.5
Tiempo t

3

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Posición y
25
20
15
10

Función y

5
0
-5
-10
-15
-20
-25

0

0.5

1

1.5

2

2.5
Tiempo t

3

3.5

4

4.5

5

Velocidad y posición
30
y
dy/dt
20

y y dy/dt

10

0

-10

-20

-30

0

0.5

1

1.5

22.5
Tiempo t

3

3.5

4

4.5

5

Página 4 de 18 29/04/2014 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

2° Desarrollar la ecuación diferencial
para y(0) = 0.709

= 200 Sen(5t-152.46°)

,

= -18.49

Desarrollo analítico.
La ecuación diferencial de segundo orden se puede convertir en dos ecuaciones diferenciales de
primer orden.
Hacemos Z =

,...