Definición de vector propio y valor propio

Definición de Vector Propio y Valor Propio

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados porel operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, unatransformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.Polinomio Característico

En álgebra lineal, se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de información sobre lamatriz, los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza.

Sea K un cuerpo (podemos imaginar K como el cuerpo de los reales o de los complejos) y una matriz cuadrada An-dimensional sobre K. El polinomio característico de A, denotado por pA(t), es el polinomio definido por

donde I denota la matriz identidad n-por-n. Algunos autores definen el polinomio característicocomo det(t I-A); la diferencia es inmaterial puesto que los dos polinomios únicamente se diferencian por su signo.

Calculo del Vector Propio correspondiente a un Valor Propio

Matemáticamente, vλ esun vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:

donde T(vλ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es unatransformación lineal (lo que significa que para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esabase mediante una matriz AT y un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:

donde la...