Clase 1

´
CALCULO
INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
CLASE # 1

Integrales
´
5.1. Areas
y distancias.
Operador sumatoria. Propiedades. Algunas sumatorias comunes
Por definici´
on

→ indica terminar en i = n
→ suma
→ indica que comienza en i = m

n
i=m
Por ejemplo
4

6

4

i3 = 33 + 43 + 53 + 63

ai = a1 + a2 + a3 + a4
i=1
3

2j = 21 + 22 + 23 + 24

i=3

j=1
5

1
i

−

1
i+1

=1−

1
2

+

1
2

−

1
3

1
3

+

−

1
4

=

3
4

f (xi ) = f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) + f (x5 ).

i=1

i=2

Propiedades
n

n

n

c = nc

cai = c

i=1

i=1

n

ai

n

n

(ai + bi ) =

i=1

i=1

ai +
i=1

bi
i=1

Por ejemplo
18

18
2

4

(i + i ) =
i=1

4

i +
i=1

7

18
2

5

3 = 3 · 7 = 21

i

3ai = 3

i=1

i=1

5

i=1

ai
i=1

Algunas sumatorias comunes
n

i=
i=1

n(n + 1)
2

n

i2 =
i=1

n

n(n +1)(2n + 1)
6

i3 =
i=1

n(n + 1)
2

2

.

Ejemplos.
15

•

i=
i=1

15(16)
= 120.
2

n

n

2 i
− 1 = lim
n→∞
n→∞
n n
i=1
i=1

• lim

2
2
i−
2
n
n

n

= lim

n→∞

n

2
2
2 n(n + 1)
i−
1 = lim 2
− 2 = −1.
2
n→∞
n i=1
n i=1
n
2

El problema del ´
area
Pensemos que queremos calcular el ´
area de la regi´on sombreada en la siguiente figura; abreviadamente,
area bajo f, x ∈ [a, b] , donde f es continua yf ≥ 0
´

1

Por ahora s´
olo conocemos el ´
area de figuras geom´etricas sencillas tales como poligonos.
Para empezar consideremos un caso particular: queremos hallar el ´area bajo la curva determinada por
f (x) = x3 , para x ∈ [0, 1] . La idea ser´
a dividir la regi´on en franjas verticales y aproximar cada franja por
un rect´
angulo.
Dividimos [0, 1] = 0, 41 ∪ 14 , 12 ∪ 12 , 34 ∪ 43 , 1 yconstruimos los rect´angulos como se indica en la figura:

Una primera aproximaci´
on del valor del ´
area buscada es:
R4 = f

1
4

1
2

+f

3
4

+f

+ f (1) ·

1
25
=
≈ 0.390625 y A ≈ R4 .
4
64

Y si tomamos los puntos de la izquierda obtenemos otra aproximaci´on del valor de A:

L4 = f (0) + f

1
4

+f

1
2

3
4

+f

·

1
9
=
≈ 0.140625 y A ≈ L4 .
4
64

As´ı,
L4 ≤ A ≤ R4 .
Se observa que si tomamosfranjas cada vez m´as angostas la aproximaci´on es cada vez mejor. As´ı tomando
1
intervalos de longitud , para n grande:
n
[0, 1] = 0, n1 ∪

1 2
n, n

∪ ··· ∪

Con esto,
2

i−1 i
n , n

∪ ··· ∪

n−1 n
n , n

.

Rn =

n

1
· f
n

+ f ( n2 ) + · · · + f ( ni ) + · · · + f ( nn ) =

1
n

1
·
f( i )
n i=1 n
n

Ln =

1
1
· f (0) + f ( n1 ) + · · · + f ( i−1
) + · · · + f ( n−1
) = ·
f ( i−1
n
n
n ).n
n i=1

Ln ≤ A ≤ Rn . Miremos qu´e pasa con lim Ln y lim Rn :

Y as´ı,

n→∞

3

1
n

Rn =

+

2
n

3

i
n

+ ··· +

3

+ ··· +

n
n

3

·

n→∞

1
=
n

n

n
i 3
n

·

1
n

=

i=1

1
1 n(n + 1)
·
i3 = 4
4
n i=1
n
2

2

=

n2 + 2n + 1
1
, por tanto lim Rn = .
2
n→∞
4n
4
1
De manera completamente an´
aloga se ve que lim Ln = . Luego, definimos
n→∞
4
A = lim Rn = lim Ln =
n→∞

n→∞

1
.
4

En el casogeneral tenemos

∆x =

b−a
ancho del intervalo
=
n
n

Y cada punto lo ubicamos as´ı,
x0 = a,

x1 = x0 + ∆x = a + ∆x,

x2 = x1 + ∆x = a + 2∆x,

xi = a + i∆x.

n

n

Y con esto

···

f (xi )∆x

Rn =

y

f (xi−1 )∆x.

Ln =
i=1

i=1

En lugar de los puntos extremos xi−1 o xi , podemos tomar cualquier punto en el intervalo llamado punto
muestra denotado x∗i ∈ [xi−1 , xi ]. Con lo cual, se define el ´areabajo la curva de f por
n

f (x∗i ) ∆x.

A = lim

n→∞

i=1

Ejemplo. Hallar el ´
area bajo f (x) = x2 + 1 con x ∈ [−1, 1] .
Soluci´
on.
En este caso ∆x =

1 − (−1)
2
= ,
n
n

n

A = lim

n→∞

n

lim

4−

−1 +

f (xi ) ∆x = lim

n→∞

i=1
n

n→∞

xi = a + i∆x = −1 +

i=1

2i
n

2i
.
n
n

2

+1 ·

n

2
4
8i
8i2
= lim
− 2+ 3 =
n n→∞ i=1 n n
n

8
8
n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
16
8
i+ 3
i2 = 4 − 8 lim
+ 8lim
=4−4+
= und.2
n→∞
n→∞
n2 i=1
n i=1
2n2
6n3
3
3
3

Ejercicio. Usando la definici´
on, hallar el a´rea bajo f (x) = x, x ∈ [0, 1] . Observar que coincide con el ´
area
de un tri´
angulo de base 1 und. y altura 1 und.

El problema de la distancia
Supongamos que se quiere calcular la distancia recorrida por un objeto m´ovil. Sabemos que si la velocidad
es constante, entonces
velocidad =...