ART Probabilidad_Condicionada

Capítulo 64
PROBABILIDAD COMPUESTA.
PROBABILIDAD
CONDICIONADA.
PROBABILIDAD TOTAL.
TEOREMA DE BAYES
1.2.3.4.5.6.-

INTRODUCCÓN
PROBABILIDAD CONDICIONADA
INDEPENDENCIA ALEATORIA O ESTOCÁSTICA
PROBABILIDAD COMPUESTA
TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES
EJEMPLOS

64.1

INTRODUCCIÓN

En el cálculo de probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad varía
en función delconocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. En
este sentido la probabilidad condicionada nos da las herramientas necesarias para calcular
una determinada probabilidad teniendo en cuenta dichas informaciones adicionales.
Pero conocer cierta información adicional, por ejemplo saber que ha ocurrido un suceso, no siempre modi…ca la probabilidad de otro suceso. Los sucesos en losque sabiendo
que uno se ha veri…cado, no se modi…ca la probabilidad del otro, decimos que son independientes, en cambio, si se modi…ca la probabilidad del otro, decimos que son dependientes
entre sí.
El concepto de dependencia e independencia de sucesos fue presentado y aplicado al
Cálculo de Probabilidades por De Moivre en 1711, y posteriormente extendido por Thomas Bayes (1702-1761), quien ademásexpresó la probabilidad condicionada en función

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PROBABILIDAD CONDICIONADA

de la probabilidad de la intersección.
Dos años después de la muerte de Bayes se publicó un trabajo en el que, por vez
primera, se calculaba la probabilidad de las causas a partir de los efectos que se han
observado. A pesar de que fue Laplace quien mejoró y desarrolló la mayor parte de
dichas probabilidades, elcálculo de éstas recibe el nombre de teorema de Bayes.
En los problemas relacionados con la probabilidad, y es especial con la probabilidad
condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, resulta interesante y recomendable organizar la información y los datos del problema en tablas de
contingencia o en diagramas de árbol. Además, es muy útil desde el punto de vista
metodológico.64.2

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Mediante un espacio probabilístico damos una formulación matemática al fenómeno aleatorio que estemos observando. Parece por tanto razonable que si observamos algo que
aporte información a nuestro fenómeno aleatorio, ésta deba alterar el espacio probabilístico de partida.
Por ejemplo, la extracción de una bola de una urna con tres bolas blancas y dos negras,
puedeformalizarse con un espacio probabilístico en el que los sucesos elementales sean las
cinco bolas y donde la probabilidad sea uniforme sobre estos cinco sucesos elementales,
es decir, igual a 15 .
Si extraemos una bola de la urna, es decir, si observamos el suceso A bola negra,
y no la devolvemos a la urna, es razonable que el espacio probabilístico cambie en el
sentido no sólo de que ahora yahabrá únicamente cuatro sucesos elementales, sino que
además la función de probabilidad deberá cambiar en orden a recoger la información que
la observación del suceso A nos proporcionó.
Es decir, en el nuevo espacio probabilístico deberá hablarse de probabilidad condicionada al suceso A, de forma que se recojan hechos tan evidentes como que ahora la
probabilidad (condicionada) de obtener negra sehabrá reducido y habrá aumentado la
de blanca.
De…nición 64.2.1 Sea (E; A; P ) un espacio de probabilidad y A ½ E un suceso con
P (A) > 0: Para cualquier otro suceso B se de…ne la probabilidad de B condicionada a
A como:
P (A \ B)
P (BÁA) =
P (A)
Ejemplos 64.2.2 Consideramos una urna que contiene 3 bolas rojas (R), 2 bolas verdes (V ) y 1 bola negra (N). Se extraen dos bolas, sin reemplazamiento.¿Cuál es la
probabilidad de que la segunda sea roja si la primera era verde?
Como es usual llamaremos R al suceso “salir roja”, V al suceso “salir verde” y N al

Cipri

Temas de Matemáticas

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suceso “salir negra”. La probabilidad que nos piden es:
6
P (R \ V )
3
= 30
P (RÁV ) = =
2
5
P (V )
6
ya que hay 30 casos posibles (6 favorables a RR; 6 a V R; 6 a RV , 2 a V V , 3 a RN; 3 a
NR, 2 a NV y 2...