Aproximación por incrementos

Aproximación de incrementos
C. Hernández, L. M. Neira, J. Ramírez y M. Rojas
Regla de la cadena para derivadas parciales
Sea z una función continua en x e y, las cuales a su vez son función de t. Esto implica que z también es una función de t. La tasa de cambio de z con respecto a t se expresa de la siguiente manera
dz = ∂z dx + ∂z dy dt ∂x dt ∂y dt
Ejemplo 1
Una tienda de retail vende dostipos de sistemas de climatización del hogar: aire acondi- cionado y enfriadores. La demanda por enfriadores Q (cientos de unidades por mes) depende del precio de los equipos de aire acondicionado pA (en miles de pesos) y del precio de los enfriadores pE (en miles de pesos) y se estima que puede ser representada por la siguiente función
Q(pA,pE)=2000−18pA +2pE
Se estima que los costos de la manode obra aumentarán dentro de los próximos seis meses y esto tendrá un impacto en el precio de los equipos de aire acondicionado y enfriadores. El precio de los equipos de climatización se puede expresar de la siguiente manera
pA(t) = 300 + 2t pE (t) = 90 + 4et/3
Donde t es la variable tiempo que se mide en meses.
Calcule la tasa de cambio de la demanda de equipos de aire acondicionado respectodel
tiempo, para tres meses más a partir de hoy.
Solución
Como la demanda por aire acondicionado es función de los precios, y los precios son función del tiempo, esto implica que la demanda también es función del tiempo.
1
Utilizando la regla de la cadena para derivadas parciales, la tasa de cambio de la demanda en función del tiempo puede representarse de la siguiente manera
dQ = ∂QdpA + ∂Q dpE dt ∂pA dt dpE dt
Calculamos las derivadas parciales de Q
∂Q ∂pA ∂Q ∂pE
Calculamos las derivadas de los precios en función del tiempo
Por lo tanto
= −18 =2
dpA dt
=2 dpE = 4et/3
dt 3
dQ=−18·2+2·4et/3 =−36+8et/3 dt 3 3
Lo que nos interesa es saber dQ
dt t=3
dQ = −36 + 8e3/3 = −28,75 dt t=3 3
Por lo tanto, en tres meses más desde ahora la demanda mensual poraire acondicionado disminuirá en 28,75 unidades por mes.
Aproximación por incrementos para funciones de dos va- riables
Sea z una función continua y diferenciable de x e y. El cambio ∆z en el valor de la función z = f(x,y), al incrementar las variables x e y en ∆x y ∆y respectivamente, se puede aproximar por la siguiente fórmula:
∆z ≈ ∂z∆x+ ∂z∆y
∂x
∂y
2
En la práctica esta fórmula esútil, porque hay situaciones en que no se conoce la función f(x,y) completa, pero si se conocen sus derivadas. De esta manera podemos estimar como se comporta la función en la vecindad del punto en que se conocen las derivadas.
Ejemplo 2
Usted es el administrador de una empresa que fabrica hornos eléctricos. La cantidad de hornos eléctricos que pueden producirse en un día queda representada por lasiguiente expresión:
Q(K, L) = 150K1/2L1/5
Donde Q es el número de hornos a producir por día, K corresponde a la inversión en capital en miles de dólares y L corresponde a la cantidad de horas hombre contratadas por día. El nivel actual de inversión en capital es $500.000 dólares y tiene contratado 700 horas-hombre. ¿Cuánto cambia la cantidad producida por día si invierte $10.000 adicionales encapital y contrata 10 horas hombre más?
Solución
Utilizaremos la fórmula de aproximación de incrementos para calcular el cambio en la función de producción:
∆Q≈ ∂Q∆K+∂Q∆L ∂K ∂L
Calculamos las derivadas parciales:
= 30K 1/2 L−4/5 Evaluamos las derivadas en el punto de interés y obtenemos:
∂Q
= 75K −1/2 L1/5 ∂K
∂Q ∂L
∂ Q
∂K K=500,L=700
∂ Q
∂L K=500,L=700
= 75 · (500)−1/2 · (700)1/5= 12,4335
= 30 · (500)1/2 · (700)−4/5 = 3,552
Según el enunciado, los incrementos son:
∆K = 10 ∆L = 10
3
Reemplazando en la fórmula de aproximación de incrementos obtenemos:
∆Q≈ ∂Q∆K+∂Q∆L=12,4335·10+3,552·10=159,8555 ∂K ∂L
Esto quiere decir que el número de hornos producidos por día aumentaría en 159 unidades (suponiendo que no se pueden producir fracciones de horno).
Comparando con...