diferencial como aproximacion del incremento

UNIDAD I. DIFERENCIALES E INTEGRAL
DEFINIDA

TEMA II. LA DIFERENCIAL COMO
APROXIMACIÓN DEL INCREMENTO

LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACIÓN DEL INCREMENTO
Como se ha señalado una variable continua presenta su posibilidad de cambio como
cualidad esencial y particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se
define la diferencial como aquella cantidad diferente de cero quesatisface la cualidad:

;
O bien:
Fig. 1

Hasta este punto, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta
ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su
definición; sin embargo, su importancia y utilidad se presenta cuando se analiza lo que
ocurre en una función.
Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” yésta
aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se
aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura 2.
Fig. 2: Aproximación lineal de una función en un punto

De la figura 1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la
función dada en el punto x0 resulta ser: y – y0 = f ´(x0) (x – x0).
Pero la“aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que
conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa
la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia Δx =(x – x0)→0,

es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma
forma se puede observar que Δy =y – y0 porlo que sustituyendo en la ecuación de la recta
tangente resulta:
dy = f´(x0) dx
Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su
significado se puede observar en la figura 2. Es importante señalar que en la notación
diferencial de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dy para encontrar a
partir de

𝒅𝒚
𝒅𝒙

= f´(x) la misma expresión.

Fig. 3:Diferenciales e incrementos

Se debe de tener presente que dy, es una condición límite cuando x→x0 y resulta idéntico a
Δy cuando se evalúa dicho límite, en la figura esta igualdad es observable cuando realizas la
operación Δx→0.
Otras situaciones en las cuales la gráfica de la función puede aproximarse mediante una
línea recta de inicio, considerar una función f que es derivable en cla ecuaciónpara la recta
tangente en el punto (c , f(c)) está dada por:
y -f(c) = f´(c) (x-c)
y = f(c) + f´(c)(x-c)

Y es llamada Aproximación por medio de una tangente (o Aproximación Lineal) de f en c.
Como c es una constante y es una función lineal de x. Además restringiendo los valores de
x de modo que sean suficientemente cercano a c, los valores de y pueden utilizarse como
aproximaciones (hastacualquier precisión deseada) de los valores de la función f, en otra
palabras cuando x →c. Es el límite y es f(c).
Ejemplo: determinar la aproximación por medio de una recta tangente de f(x) = 1 + sin x
en el punto (0 ,1), utilizar una tabla para comparar los valores y de la función lineal con los
de f(x) en un intervalo abierto que contenga a x = 0.
Solución. La derivada de f es f´(x) = cos x de talmodo la ecuación de la recta tangente ala
gráfica de f en el punto (0 ,1) es:
y - f(0) = f´(0)(x-0)
y - 1 = (1)(x-0)
y=1+x
La tabla compara los valores de y dado por esta aproximación lineal con los valores de f(x)
cerca de x=0. Advertir que cuánto más cerca es x a 0 tanto mejor es la aproximación, esta
conclusión se refuerza por medio de la gráfica que se muestra en la figura 4.
x

-0.5

-0.1

F(x)= 1+ sin x

0.521

0.9002

Y = 1 +x

0.5

0.9

-0.01

0

0.01

0.9900002 1 1.0099998
0.99

1

1.01

0.1

0.5

1.0998

1.479

1.1

1.5

Figura.4. La aproximación de la recta tangente de f en el punto (0,1).

CÁLCULO DE APROXIMACIONES EMPLEANDO DIFERENCIALES

El uso de los diferenciales como medio de aproximación se basa en la aproximación
lineal , en él se muestra la expresión y – y0 = f...