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Conjunto de los Números Naturales (IN)






 
Iniciaremos este estudio revisando los conjuntos numéricos y primero queremos presentarte  a los NATURALES, que nacen con la necesidad del hombre de poder contar, enumerar.


Definición
Son los números desde el 1 al infinito positivo.
 
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}


Números consecutivos
Una de las aplicaciones importantes deeste conjunto es que un número cualquiera se representa por “n”. Entonces, el número que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor.
Antecesor de n
número
Sucesor de n
Sucesor de n + 1


n - 1
n
n + 1
n + 1 + 1 = n + 2

Existen discrepancias respecto de incluir el cero dentro del conjunto de los naturales. Desde la miradahistórica, el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo incluirlo en los números naturales. En este apunte, no se considerará el cero como natural.

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Números pares e impares
a) Números pares
Los números pares son de la forma general: 2n, donde n pertenece a IN. Los números pares son, por lo tanto, múltiplos de 2.
Ejemplo
Si n = 1el primer par es 2.
 
Si n = 2 el primer par es 4.
 
Si n = 3 el primer par es 6.

Observa que ellos van de 2 en 2.


b) Números pares consecutivos
se denotan o designan de acuerdo al siguiente cuadro:
Antecesor par
Número par
Sucesor par


2n - 2
2n
2n + 2


Ejemplo: Tres números pares consecutivos: 


c) Números impares
Los impares son de la forma general: 2n + 1, donden pertenece a IN.


d) Números impares consecutivos
Antecesor impar
Número impar
Sucesor impar


(2n + 1) – 2 = 2n – 1
2n + 1
(2n + 1) + 2 = 2n + 3

Propiedades de la paridad
La suma de dos números pares es un número par.
La suma de dos números impares es un número par.
La suma de un número par y uno impar es un número impar.
El producto de dos números pares es un número par.
Elproducto de dos números impares es un número impar.
El producto de un número par por uno impar es un número par.
El cuadrado de un número par es un número par.
El cuadrado de un número impar es un número impar.
Ejemplo: si x es un natural par e y es un natural impar, entonces la expresión , ¿es par o impar?
Solución:
Como x es par, entonces 3x es par.
Como y es impar, entonces 2y es par.Entonces,  es par.
Entonces,  es par.


Números primos
Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo.

Los primeros números primos de la recta numérica son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números compuestos.

Ejemplos:

El 14 no esprimo,  porque se puede dividir por 2 y por 7.

El 7 es primo porque solo es divisible por 1 y por 7.
 
el 12 no es primo y es un número compuesto porque 12 = 3 · 4 o bien 12 = 2 · 6, etc.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. Ejemplo: el número 2.520 = 

Para recordar:
El número 1 no es primo.
El primer primo es el 2.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a.C. y se encuentra en la obra Los Elementos, de Euclides. Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo yproporciona métodos para determinarlos y que hoy en día se conocen como algoritmos de Euclides.

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Múltiplos de un número
Se definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, ...}

En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k , donde n es un número natural.


Divisibilidad
Cuadro de criterios de...