Series de furier

Introducción
En un espacio vectorial podemos definir un producto interno que debe cumplir con ciertas condiciones. Un conjunto de vectores de dicho espacio vectorial es ortogonal si su productointerno es cero. Geométricamente, en el espacio de dos y tres dimensiones se sabe que dos vectores no cero son ortogonales si su producto interno es cero.
De forma similar, dos funciones distintas sonortogonales si su producto interno es cero, dicho producto interno se define como una integral definida. 1

Funciones ortogonales En espacios vectoriales una función es la generalización de unvector, por tal razón los conceptos de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden aplicar para funciones. Si u y v son vectores del espacio tridimensional, el producto punto (u, v) o uv entre losdos vectores tiene las siguiente propiedades.

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La generalización de producto interno debe tener las mismas propiedades. Producto interno. Si f1 y f2 son funciones definidas en un intervalo  a,b  , entonces el producto interno entre las dos funciones que es un número se define como:

( f1 , f 2 )   f1 ( x) f 2 ( x)dx.
a

b

Funciones ortogonales. Dado que dos vectores sonortogonales si su producto interno es cero, de forma similar se definen las funciones ortogonales. Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en  a, b  si

( f1 , f 2 )   f1 ( x) f 2 ( x)dx  0
a
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bEjemplo 1. Las funciones
ortogonales en  1, 1 porque

son

Conjuntos ortogonales. Un conjunto de funciones de valor real

es ortogonal en un intervalo  a, b si
b

0 ( x), 1 ( x),2 ( x), . . .

m ( x), n ( x)   a m ( x), n ( x)dx  0

m  n.
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La norma o longitud generalizada de una función es

n ( x) 
Es decir

n ( x),n ( x) 

n ( x) 
2 b

a

b

a

 ( x)dx
2 n

El número

n ( x)    ( x)dx
2 n

se llama norma cuadrada de n ( x)

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Ejemplo 1. Conjunto ortogonal de funciones.
Demostrar que el conjunto...