Selectividad Andalucia Septiembre 2009

Colegio Lux Mundi (Cajar-Granada)

Examen Septiembre de 2009

Javier Costillo Iciarra

Opción A
Ejercicio 1.[2'5 puntos] Se considera la función f:[1, +∞ ) → R definida por f ( x ) = x 2 -x +x . Determina la asíntota de la gráfica Solución Evidentemente, la función no tiene asíntotas verticales, ya que su dominio es [1,+∞) Estudiemos la asíntota horizontal hacia la derecha, es decir, parax → ∞
x →+∞

lim f(x)= lim

x →+∞

(

x 2 -x +x =+ ∞

)

Luego, no hay asíntota horizontal para x →∞ Para x → - ∞ la función no está definida, por tanto, no podemos calcular asíntotas hacia la izquierda. La función puede tener una asíntota oblicua hacia la derecha: = mx + n y

= m lim
x →+∞

f(x) x 2 -x +x ∞ x 2 +x 2x = = Indet. lim = = lim = lim =2 x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x ∞x x
x →+∞

n= lim ( f(x)-mx ) = lim
2

x →+∞

( x -x -x )( x -x +x ) = lim ( x -x +x )
2 2

(

x 2 -x +x-2x = lim

)

x →+∞

(

x 2 -x -x = ∞ − ∞=Indet.=

)

x 2 -x-x 2 -x -x = lim = lim = lim 2 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x -x +x x -x +x x 2 +x

-x -x 1 = lim =x →+∞ x+x x →+∞ 2x 2 Luego la asíntota de la gráfica de la función es una asíntota oblicua hacia la derecha 1 cuyaecuación es: y=2x2 = lim
Ejercicio 2.

1 La curva y= x 2 divide el rectángulo de vértices A=(0,0) , B=(2,0) , C=(2,1) y D= (0,1) 2 en dos recintos a) [0’75 puntos] Dibujar dichos recintos b) [1’75 puntos] Hallar el área de cada uno de ellos. Solución a)

b) El área del rectángulo completo es A T = base.altura = 2.1 = 2 u El área desde el punto A(0,0) hasta el punto “a”, es el área bajo la recta y= 1, menos el a 1 área limitada por la parábola y el eje OX será: A1 = a.1 - ∫ x 2 dx 0 2 Para calcular el punto “a”, igualamos la ecuación de la recta DC (y = 1) a la de la parábola: 1 2 x =1 ⇒ x 2 =2 ⇒ x=+ 2 , puesto que a es positivo. Así: 2

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Javier Costillo Iciarra

A1 = ( 2.1)   = ( 2.1) -   

∫0

1 x3   x3  1 2 x dx = ( 2.1) -   = ( 2.1) -   = 2  2 3 0  6 0
3

( 2)
6

  3 1 2 2 2 2   ( 0)   -  6  = ( 2.1) - 3 = 3 u    
2 2 6 2 2 2 = u 3 3

Como A T =A1 +A 2 ⇒ A 2 = A T - A1 = 2 Por tanto: A1 =

2 2 2 6-2 2 2 u y A2 = u 3 3
Ejercicio 3.

 3x+λy=0  a) [1’75 puntos] Discute según los valores λ el siguiente sistema:  x+λz=λ  x+y+3z=1 
b) [0’75puntos] Resuélvelo para λ=0 . Solución =0  3 λ 0  A= ⇒ 0  λ A=λ -6λ=02 λ=0⇒y λ=6  1  ⇒ 1 1 3 x+ y+3z=1     a) Por tanto: Si λ ≠ 0 y λ ≠ 6 , r(A)=3=r(A*)= nº de incógnitas, luego el sistema será COMPATIBLE DETERMINADO  3 0 0 0  3 0 0 0      1 0 0 0  =2 Si λ=0 , r(A)=2; A*=  1 0 0 0 ;r(A*)=r  1 0 0 0  =r   1 1 3 1  1 1 3 1  1 1 3 1     

3x+λy x+λz=λr(A)=r(A*)=2< nº de incógnitas, luego el sistema será COMPATIBLE INDETERMINADO Si λ=6 ,  3 6 0 0  3 6 0 0 3 6 0  1 0 6 6 ;r(A*)=r  1 0 6 6  ; 1 0 6 =36-6-18=12 ≠ 0 ⇒ r(A*)=3 r(A)=2; A*=     1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1     r(A)=2 ≠ r(A*)=3 , luego el sistema será INCOMPATIBLE b) λ = 0
=0   3x  x =0     x=0    ⇒x =0  ⇒   ⇒ z=t ⇒ y+3t=1 ⇒ y=1-3t ⇒  y=1-3t  t ∈   x+ y+3z=1  x+y+3z=1  z=t     

Ejercicio 4.

y z+1 y la recta s definida Considera el punto P(1 , 0 , 0), la recta r definida por x-3= = 2 -2 por ( x , y , z ) = (1, 1, 0 ) +2 , 0 λ -1, ( )
a) [1’25 puntos] Estudia la posición relativa de r y s b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s Solución

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Javier Costillo Iciarra

a)

 y z+1  A(3,0,-1) r:x-3= = ⇒  2 -2 d=(1,2,-2) 

d'=(-1,2,0)   Como r d,d' =2 , las rectas se cruzan o se cortarán en un punto.

s: ( x,y,z ) = (1,1,0 ) + ( λ -1,2,0

) ⇒  

 B(1,1,0)

( )

1 2 -2  1 2 -2          r  d,d',AB  =r  -1 2 0  ; Como -1 2 0 =(Adjun. 2ª F)=4+2(-3)=-2 ≠ 0 las rectas se      -2 1...