PROGRESIONES

Sucesiones numéricas.
Las sucesiones y progresiones son conjuntos ordenados de números reales, por ejemplo, la numeración de las butacas. Cada uno de los números se denomina término de la sucesión.
Progresiones Aritméticas.
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales en la que cada termino se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo d.
Progresiones Aritméticas.Observamos las siguientes sucesiones:
a) 0, 2, 4, 6, 8, . . .
b) 6,23; 6,26; 6,29; . . .
c) -3, -6, -9, -12, . . .
d) 24, 20,16, 12, . . .
e)
f) 5, 5, 5, 5, . . .
Observamos que la característica común a todas ellas es que cada término se obtiene del anterior, sumándole o restándole un número fijo.
Una progresión aritmética es unasucesión de números reales, tales que cada uno de ellos, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante, d, llamada diferencia.
an=an-1+d
Si d > 0, la progresión es creciente. Ejemplo: a), b) y e).
Si d < 0, la progresión es decreciente. Ejemplo: c) y d).
Si d = 0, la progresión es constante. Ejemplo: f).
¿Cómo identificar una progresión aritmética?

Basta concomprobar que: a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = . . . = d.
Observamos la siguiente sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20. . .
Cada término se obtiene a partir del anterior, sumándole 3. Si restamos a cada término el anterior, obtenemos siempre el valor 3.
d = 3 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 17 – 14 = 20 – 17 =…
La sucesión 5, 8, 11, 14, 17, 20…es una progresión aritmética y su diferencia, d, vale 3.
Terminogeneral de una progresión aritmética.
Vamos a obtener una fórmula que permita calcular un término cualquiera de la progresión, conociendo el primer término, a1, y la diferencia, d.
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a3 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
…
an-1 = an-2 + d = (a1 + (n – 3) . d) + d = a1 + (n -2) . d
an = an-1 + d = (a1 + (n – 2) . d) + d = a1 + (n-1) . d

En toda progresión aritmética, un término cualquiera, an , es igual al primero, a1 , más el producto de la diferencia, d, por el número de términos que le preceden, n – 1.




Suma de n términos de una progresión aritmética
En la progresión aritmética, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35… consideramos sus 8 primeros términos.
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
8 + 23 = 31
5 + 26= 31
Observemos que la suma de los términos equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos:
a1 + a8 = a2 + a7 = a3 + a6 = a4 + a5…
Consideramos la suma de los 8 primeros términos, que llamaremos S8.
S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ a8
Escribimos esa suma cambiando el orden:
S8 = a8 + a7 + … + a3 + a2 + a1

Sumamos ambas expresiones, término a término, y obtenemos:2S8 = (a1 + a8) + (a2 + a7) +…+ (a8 + a1)
Los resultados de todos los paréntesis son iguales a (a1 + a8) y tenemos 8 sumandos; es decir:
2S8 = (a1 + a8) . 8

La suma, Sn, de n términos de una progresión aritmética es:













Ejercicio:
La suma de los 9 primeros términos de una progresión aritmética es 450, y la diferencia de los extremos es 40. Hallamos dichostérminos.
Se tiene:
Sn = (a1 + an) . /2
De donde: 450 = (a1 + a9) . 9 /2  100 = a1 + a9.
Como, además, a9 – a1 = 40, sumando miembro a miembro las dos igualdades, resulta:
2a9 = 140  a9 = 70
Luego: a1 = 100 – 70 = 30.
Como an = a1 +(n – 1) . d; 70 = 30 + 8d  d = 5.
Conociendo a1 y d; podemos hallar el resto de terminos.
Por tanto: a2 = d = 30 + 5 = 35 y a3 = 40, a4 = 45, a5 = 50, a6 = 55,a7 =60, a8 =65








Progresiones geométricas.
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales tales que cada uno de ellos se obtiene multiplicado por el anterior por un número fijo.
Observamos las siguientes sucesiones de números reales:
a) 2, 6, 8, 18, 54, 162,…
b) , , ,….
c) 1, -3, 9, -27, 81,…
d) 24, 12, 6, 3, , , ,…
e) , , 1, 2, 4, 8,…
f) 5, 5, 5, 5,…
La...