Progresiones

PROGRESIONES

Las progresiones son series de números o términos que siguen un orden especifico, y que dependiendo como crecen o decrecen en la serie, adquieren el nombre de progresiones Aritméticas o Geométricas. Estos términos están formados de acuerdo una ley, ejemplo: 1, 2, 3, 5,7……. Es una serie cuya ley es que cada termino se obtiene sumando 2 al termino anterior: 1, 2, 4,8…. es una seriecuya ley es que cada términos se obtiene multiplicando por 2 el termino anterior.

PROGRESIONES ARITMETICAS

Son sucesiones numéricas en las que cada uno de los términos se obtiene del anterior sin más que sumar o añadir a este una cantidad constante denominada Razón. En una progresión aritmética, los términos crecen en función lineal. El signo de progresión aritmética es: ÷ y entre cadatérmino y el siguiente se escribe un punto.
Las progresiones aritméticas pueden ser Creciente si la diferencia es positiva, por lo que los términos de la progresión irán aumentando. Una progresión decreciente es aquella en al cual los términos van disminuyendo de valor, debido a que la diferencia es negativa.
Ejemplo:
a) Sea la progresión aritmética Creciente
÷ 1.3.5.7….
Es una progresiónaritmética es creciente cuya razón es 2 porque 1+2=3; 3+2=5; 5+2=7.

b) Sea la progresión aritmética Decreciente.
÷ 8.4.0.-4……
Es una progresión aritmética decreciente cuya razón es -4 porque 8+ (-4)= 8 - 4= 4, 4+ (-4)= 0, 0+ (-4)=-4,

DEFINICION DE TERMINOS DE LA PROGRESION ARITMETICA.

Los términos empleados en una progresión aritmética son:
a= primer termino de la progresiónaritmética.
an= ultimo termino de la progresión aritmética
n= numero de términos de la progresión aritmética.
r= razón de la progresión aritmética.
Sn= sumatoria de los términos de la progresión aritmética.

LA RAZON O DIFERENCIA DE UNA PROGRESION ARITMETICA.

Es el resultado de la resta de un término de la progresión menos el término inmediatamente antecesor.

d = a – a
Ejemplo:
÷ 12 . 34. 1…. La razón es. 34 - 12 = 14

TERMINO N- ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Si a1, a2, a3, a4, a5,..., an-1, an,...es una progresión aritmética, cuya diferencia es d, se pueden escribir las
Siguientes igualdades:

a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = a1 + 3d,
a5 = a4 + d = a1 + 4d,
an = an-1 + d = a1 + (n -1) d.

El término n-ésimo de una progresión aritmética seobtiene sumando al primer término la
Diferencia multiplicada por esta tantas veces como términos hay antes del término buscado (n -1):

an = a1 + (n-1) d.
Ejemplo:
a) Hallar el octavo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y cuya diferencia es 5.

a1 = 3,
d = 5
n = 8,an = a1 + (8 -1) d
= 3 + 7.5 = 38.

b) Hallar el primer término de una progresión aritmética que consta de veinte términos, si se sabe que
El último es 83 y que la diferencia es 4.

a20 = 83,
d = 4
n = 20,

83 = a1 + (20 -1) .4 / a1
= 83 -19·4 = 7.

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA.

La suma de los términos de una progresión aritmética sehalla calculando la semisuma de los términos extremos y multiplicando esta por el numero de términos n.
(a1 +an) * n
Sn = ———————
2
Ejemplo:
Calcular la suma de los cincos primeros términos de la progresión 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26….
a1= 2a5= 18
n=5

2 +18 x 5
Sn = ————— = 50
2


En efecto: 2+6+10+14+18 =50

MEDIOS ARITMETICOS

Se llama medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre el primero y el último término de la progresión.
Ejemplo:
En la progresión ÷ 3.5.7.9.11 los términos 5,7 y 9 son medios...