Polinomios

Polinomios ortogonalmente aditivos y aplicaciones.

Polinomios ortogonalmente aditivos y aplicaciones.
Pablo Linares conjuntamente con A. Ibort y J. G. Llavona.
Universidad Complutense

Salobre˜a, 3-5 Abril 2008 n

Polinomios ortogonalmente aditivos y aplicaciones.

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Polinomios ortogonalmente aditivos. Introducci´n. o Resultados conocidos.

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Aplicaciones. Representaci´n deret´ o ıculos. Teor´ espectral. ıa Problema de momentos multilineal.

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Introducci´n o

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Definici´n (Ret´ o ıculo de Banach)
Sean (X ,≤) un espacio de Banach real y una relaci´n de ordeno parcial. X es un ret´ ıculo de Banach si: (i) Si x ≤ y entonces x + z ≤ y + z para todos x, y , z ∈ X (ii) ax ≥ 0 para todo x ≥ 0 y todo a real no negativo (iii) Dados cualquier x, y ∈ X , existen la menor cota superior x ∨ y y la mayor cota inferior x ∧ y . (iv) x ≤ y siempre que |x| ≤ |y |, definiendo el valor absoluto |x| como |x| = x ∨ (−x)

Ejemplos
C (K ), LP (orden puntual),
p(orden por coordenadas)

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Definici´n (Polinomios ortogonalmente aditivos) o
X ret´ ıculo de Banach. P ∈ P(m X ) es un polinomio ortogonalmente aditivo si P(x + y ) = P(x) + P(y ) siempre que x, y ∈ X sean ortogonales (es decir |x| ∧ |y | = 0). Denotaremos por Po (m X ) al espacio de polinomiosortogonalmente aditivos.

Ejemplos
1. En C ([0, 1]), P(f ) = 2. En
2, 1 n 0 f dµ. 2 xn .

P(x) = x

2

= (x, x) =

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Resultados conocidos

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Polinomios ortogonalmenteaditivos en Lp y
Sundaresan 1991

p.

1. Sea 1 ≤ p < ∞. El espacio de polinomios ortogonalmente aditivos, n-homog´neos Po (k p ) es isom´tricamente isomorfo a e e para 1 ≤ k < p < ∞ y a ∞ para p ≤ k. p/p−k 2. Si X = Lp [0, 1] con la medida de Lebesgue µ y 1 ≤ p < ∞ tenemos tres casos:
p 1 ≤ k < p: P ∈ Po (k X ) si y s´lo si existe un unico ξ ∈ L p−k tal o ´

que P(x) = 0 ξx k dµ k = p : P∈ Po (k X ) si y s´lo si existe un unico ξ ∈ L∞ tal que o ´ 1 P(x) = 0 ξx k dµ k > p : Po (k X ) = {0}

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Polinomios ortogonalmente aditivos en C (K ).

P´rez-Garc´ Villanueva 2005 y Carando, Lasalle, Zalduendo e ıa, 2006.
Dado P ∈ Po (n C (K )), existe una medida de Borelregular µ sobre K tal que P(f ) =
K

f n dµ

para todo f ∈ C (K ).

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Polinomios ortogonalmente aditivos en ret´culos de ı Banach.
Sea X un ret´ ıculo de funciones en un conjunto o un ret´ ıculo de clases de equivalencia de funciones medibles en un espacio de medida (Ω, Σ, µ). Para f∈ X , definimos: f α (s) = |f (s)|α sign(f (s)).

Definici´n (q-concavificaci´n de X ) o o
X(n) = {f n : f ∈ X } para n > 1. Consideramos en X(n) la cuasi-norma definida por |||f ||| = f 1/n
n.

Observaci´n o
Si T es lineal y continua en X(n) , entonces el polinomio P(x) = T (x n ) es ortogonalmente aditivo.

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Benyamini, Lasalle, Llavona 2006.
Sea X un ret´ ıculo de Banach de funciones. Fijamos n ∈ N. Entonces, la aplicaci´n T → PT , dada por PT (f ) = T (f n ), es una isometr´ o ıa lineal de (X(n) , ||| · |||)∗ sobre Po (n X ) el espacio de polinomios nhomog´neos ortogonalmente aditivos en X . e

Observaci´n o
Los resultados tambi´n son v´lidos en el caso vectorial. e...