Matrices

MATRICES.
Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas). Si m = n (m nº de filas y n nº de columnas) se dice que la matriz es de orden m., por lo que el orden de una matriz sería el nº de filas o columnas que tiene. Ejemplo:

[pic] Estamatriz tendría dimensión 3x3 y sería de orden 3 ya que tiene el mismo número de filas que de columnas (3).

Tipos de matrices:

- Iguales: Cuando coinciden sus dimensiones y sus números y la posición en la que se encuentran los mismos.

- Matriz cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas y de columnas. En ella la diagonal principal son los números que ocupan ladiagonal que va desde el primer número hasta el último:

[pic] Lo rojo sería la diagonal principal.

- Matriz rectangular: Es aquella matriz que no tiene el mismo número de filas que de columnas.

- Matriz fila: Aquella que tan solo tiene una fila.

- Matriz columna: Aquella que solo tiene una columna.

- Matriz nula: Aquella matriz en la que todos los números son 0.- Matriz unidad o identidad. Es una matriz cuadrada de cualquier orden en la que su diagonal principal está formada únicamente por unos y lo demás son ceros:

[pic]

- Matriz traspuesta de A: Es aquella matriz en la que las filas de una matriz A aparecen como columnas:

[pic] ( [pic]

- Matriz simétrica: Matriz que es simétrica por la diagonal principal. Coincidecon su traspuesta:

[pic] [pic]

Suma (y resta) de matrices. Para sumar dos matrices se suman (o restan) los números que ocupan la misma posición. Ejemplo

[pic]

[pic]

[pic]

Producto de matrices: Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que la segunda dimensión de la 1ª matriz coincida con la 1ª dimensión de la segunda, es decir, que la primera matriz tieneque tener el mismo número de columnas que las filas de la segunda matriz. La matriz resultante tendrá las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda. Pero las matrices no tienen propiedad conmutativa. Una matriz multiplicada por la matriz unidad es la misma matriz.

[pic]

Para calcular el primer elemento se hace lo siguiente: 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1. Porque para calcular un elementohay que multiplicar el primer elemento de la fila a la que pertenezca (en este caso la primera) de la primera matriz por el primer elemento de la columna a la que pertenezca (en este caso también la primera) de la segunda matriz más el segundo elemento por el segundo más el tercero por el tercero… Así hasta acabar la fila o columna. Lo voy a poner con letras.

[pic]

Si AB=0 n s necesario quealguna de las dos matrices sea 0, si AB = AC B y C no tienen por qué ser iguales. (A+-B)2 no tiene por qué ser igual a A2 +- 2AB + B2 y finalmente (A+B)(A-B) no tiene por qué ser igual a A 2 – B2.

Producto de una matriz por un número: Simplemente se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.

Una matriz por su inversa es igual a la identidad, por lo que una de las fórmulas paracalcular la inversa de la matriz será [pic]:

[pic]

A partir de aquí sacamos un sistema de ecuaciones: (

a + 2c=1
b+2d=0
-a=0
-b=0
De donde sacamos que b =0 a =0 c =1/2 y d=0.

Una fila o columna de una matriz depende linealmente de las otras si es proporcional a ellas o si es la suma de varias de ellas. El rango es el número de filas o columnas linealmente independiente, y unmétodo para calcularlo (método de Gauss) sería ir eliminando las columnas y filas que dependen linealmente de otras. Además se pueden restar filas y columnas sin que varíe el rango y multiplicarlas también sin que varíe el rango.

DETERMINANTES: Solo se pueden calcular en el caso de que la matriz sea cuadrada. Determinante de orden 2:
[pic] = ad – bc
Determinante de orden 3: Se usa la regla de...