estrategia metodologica

En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del queresuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.Multiplicación de una matriz por un escalar[editar]
Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

A = \begin{pmatrix}
a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix} que seescribe genéricamente como A:=(a_{i j})_{m \times n}.
la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:

kA = \begin{pmatrix}
ka_{1 1} & \cdots & ka_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
ka_{m 1} & \cdots & ka_{m n}
\end{pmatrix} que se escribe genéricamente como kA:=(k\cdot a_{i j})_{m \times n}.
En el caso particular de multiplicación por enteros, sepuede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

n \times A = \underbrace{A + \dots\ + A}_n
Propiedades[editar]
Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Descripción
Clausura cA es también una matriz
Elemento neutro Existe el elemento neutro uno, de maneraque 1·A = A
Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)
Propiedad distributiva
- De escalar
- De matriz
c(A+B) = cA+cB
(c+d)A = cA+dA
Multiplicación de una matriz por otra matriz[editar]


Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.
Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de lamatriz B; es decir:

A:=(a_{ij})_{m \times n} y B:=(b_{ij})_{n \times p}
la multiplicación de A por B, que se denota A \cdot B, \; A \times B, \; A \circ B o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

C=AB:=(c_{ij})_{m \times p}
donde cada elemento ci,j está definido por:

c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj}
es decir:

C = AB_{}^{} = \begin{pmatrix}
a_{1 1} &\cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
b_{1 1} & \cdots & b_{1 p} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n 1} & \cdots & b_{n p}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+ \cdots +a_{1n}b_{n1} & \cdots & a_{11}b_{1p}+ \cdots +a_{1n}b_{np} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}b_{11}+ \cdots +a_{mn}b_{n1} &\cdots & a_{m1}b_{1p}+ \cdots +a_{mn}b_{np}
\end{pmatrix}
Propiedades[editar]
Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un grupo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:Propiedad Descripción
Clausura AB es también una matriz
Elemento neutro Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que: I·A = A·I = A
Propiedad asociativa (AB)C = A(BC)
Propiedad distributiva
- Por la derecha
- Por la izquierda
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB
[Expandir] Demostración de la propiedad asociativa
Elproducto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.

AB_{}^{} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} y por el contrario BA_{}^{} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix} =...