ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES
LUIS ALBERTO ASCENCIO CALLADO

28 DE JUNIO DE 2015
T.E.S.E.
PROFESOR: EDGAR CORONA ORGANICHE

ESPACIOS VECTORIALES
Espacios Vectoriales y Subespacios
Definición. Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío, cuyos elementos - llamados vectores
– se pueden sumar entre sí, y multiplicar por escalares (números reales) de tal manera que la suma
de dos elementos de V tambiénpertenece a V, el producto de un escalar por un elemento de V
también pertenece a V, y se cumplen las siguientes propiedades:
EV1. Asociatividad
Dados u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + ( v + w )
EV2. Existencia de neutro
El elemento 0 (vector nulo) tiene la propiedad 0 + v = v + 0 para todos vector v ∈ V
EV3. Todo vector tiene su opuesto
Para todo v ∈ V, - v ∈ V tiene la propiedad: v + (-v)= v –v= 0EV4. Conmutatividad
Para todo par de vectores u, v ∈ V, u + v = v + u
EV5. Si c es un escalar y u, v ∈ V, entonces c.(u+v) = c.u + c.v
EV6. Si a, b son escalares y v ∈ V, entonces (a+b).v = a.v + b.v
EV7. Si a, b son escalares y v ∈ V, entonces (a.b).v= a.(b.v)
EV8. Para todo u ∈ V,

1.u = u

La existencia del opuesto permite definir la resta de vectores: u + ( -v ) = u - v

Ejemplo 1. Dados losnaturales fijos m y n, el conjunto R m×n de las matrices de m filas y n
columnas con coeficientes reales con las operaciones suma y producto por escalares (números reales)
es un espacio vectorial porque tiene todas las propiedades EV1 a EV8 (citadas en el Capítulo 1
Matrices).

1

Ejemplo 2. Dado el natural fijo n, el conjunto R n de las n-uplas x = ( x1 , x2 , x3 ,....., xn ) de números
reales, conla suma definida de la siguiente manera: Dadas dos n-uplas x = ( x1 , x2 , x3 ,....., xn ) y

u = (u1 , u2 , u3 ,....., un ) , x + u = ( x1 + u1 , x2 + u2 , x3 + u3 ,....., xn + un ) , y el producto por un escalar
c definido así: c.u = (c.u1 , c.u2 , c.u3 ,....., c.un ) , también cumple todas las propiedades EV1 a
EV8 y por lo tanto es un espacio vectorial.

En particular para n=2 y n=3 loselementos de los espacios vectoriales respectivos R 2 , R3 (pares y
ternas de números reales), se pueden representar gráficamente como segmentos orientados con su
extremo inicial en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas (con dos ejes x e y en R 2 , tres
ejes x, y, z en R3 ) y su extremo final en el punto cuyas coordenadas son las componentes de los
vectores correspondientes.

Existen otrosespacios vectoriales, algunos de ellos son: el conjunto de todos los polinomios, el de
los polinomios de grado menor o igual que un n fijo, el conjunto de partes de un conjunto, el de
funciones reales, fuera del contenido requerido para esta materia.

Si se considera un subconjunto U de un espacio vectorial V, éste será un subespacio de V si U es
en sí mismo un espacio vectorial, es decir si Utiene las propiedades dadas en 4.1.1 con las mismas
operaciones definidas en V.
No cualquier subconjunto de V es un subespacio de V. Para que lo sea el vector nulo debe estar en
él y las operaciones definidas en V deben ser cerradas en ese subconjunto.
4.1.2. Definición. Un conjunto S incluido en un espacio vectorial V es un subespacio (o
subespacio vectorial) de V si satisface las siguientescondiciones:
(1) El vector nulo 0 ∈ S
(2) Si v y w ∈ S entonces v + w también pertenece a S
(3) Si c es cualquier escalar y v cualquier vector de S, entonces c.v ∈ S

{

Ejemplo 1. Dado el conjunto U = A ∈ R 2×2 ; a11 =3a22 ∧ a21 + a12 = 0

}

Probar que U es un subespacio del espacio vectorial R 2×2 .
Hay que probar que U cumple las tres propiedades de la definición 4.1.2.
0 0
(1) El vector nulo en R2×2 es el vector (o la matriz) O = 
 que efectivamente cumple
0 0
las dos condiciones que definen al conjunto U. Por lo tanto O ∈ U y queda probada la
propiedad (1) de subespacio: El vector nulo del espacio grande R 2×2 donde está incluido U
también es elemento de U
(2) Sean A, B ∈ U , hay que probar que A + B ∈ U .
A ∈ U ⇔ a11 =3a22 ∧ a21 + a12 = 0
B ∈ U ⇔ b11 =3b22 ∧ b21 + b12 = 0

2

...